巴拿赫不动点定理_度量空间理论的重要工具

巴拿赫不动点定理

度量空间理论的重要工具

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

定理

设(X,d)为非空的完备度量空间。设T:X→X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q<1，使得对于所有X内的x和y，都有：

那么映射T在X内有且只有一个不动点x（这就是说，Tx=x）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，并定义一个迭代序列xn=Txn-1，对于n= 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x。以下的不等式描述了收敛的速率：

等价地：

且

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx,Ty) < d(x,y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T: [1,∞) → [1,∞)，T(x) =x+ 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映射到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。

逆定理

巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

推广

一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

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最新修订时间：2022-08-25 16:03

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