差分格式是数值计算方法中
微分以及偏微分
导数的一种
离散化方法，即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者
偏导数的一种算法。 选择差分格式是离散化
偏微分方程的第一步。
差分格式简介
对二阶常微分方程边值问题：
(1)
。 (2)
式中，q，f 为 [a,b] 上的连续函数， 为给定常数。这是最简单的椭圆型方程边值问题。
将区间 [a,b] 分成 N 等分，分点为 ，其中 称为步长， 称为网格的节点。于是，得到区间 [a,b] 上的一个网格剖分。
现在将方程 (1) 在节点 离散化。为此，对充分光滑的解 u，由泰勒展式得
(3)
其中 表示方括号内的函数 在 点取值。于是在 可将方程 (1) 写成
(4)
其中 (5)
显然，当 h 足够小的时候， 是 h 的二阶无穷小量，若舍去 则得到逼近方程(1)的差分方程：
(6)
式中 ，称 为差分方程(6)的截断误差。利用差分算子 ，可将(4)写成形式
(7)
而在节点 处，微分方程(1)为 ，以此与(7)相减，得
(8)
所以 是用差分算子 代替微分算子 L 所引起的截断误差，它关于 h 的阶为 。
差分方程(6)当 时成立，加上边值条件 ，就得到关于 的线性代数方程组：
(9)
(10)
它的解 是 于 的近似。
称(9)、(10)为逼近 (1)、(2) 的差分方程或差分格式。
构造方法
构造差分格式的方法有多种，如直接差分化、积分插值法、变分-插分法及
待定系数法等。