所谓”展开图“，就是将制件的表面按一定顺序而连续地摊平在一个平面上所得到的图样。这种图样在造船、航空、机械、化工、电力、建筑、轻纺、食品等工业部门都得到广泛的应用，显然，展开图画得是否准确，直接关系到制件质量、生产效率、产品成本等问题。

空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容。对于用板料制作的零件，除需要用多面正投影图表示零件的形状外，还要用平面展开图表示零件制作前板料的形状。依据零件的多面正投影图绘制展开图，实质上就是求取表面的真实形状。构成形体的表面可分为两类：平面、柱面和锥面等可以摊平的表面是可展曲面；球面和圆环面等不能摊平的表面是不可展曲面。对于可展曲面，柱面用平行线法绘制其展开图，锥面用放射线法绘制其展开图。对于不可展曲面，如直纹曲面，常用三角线法展开；如不是直纹曲面，则常将它们分割成若干部分，把每个部分看作为柱面或锥面将其近似地展开。用平行线法绘制斜截圆柱的展开图：先将圆柱表面分为若干等分，确定出各等分处素线的实长。然后将圆柱底面圆周展为直线,在直线的各相应等分点处画出各素线的实长,用曲线连接各素线的上端点即得到斜截圆柱的展开图。放射线法的绘制原理与平行线法类似。锥面展开后各素线相交于一点,因而称为放射线法。三角线法是将形体的表面近似地看作为由许多边与边相邻接的三角形构成，求出各个三角形的真实形状,然后将它们拼接在一起。半球的展开图,将半球分为若干等分,把每一等分近似地看作为圆柱面而将其展开。展开图也可以用计算法绘制：通过数学计算得到展开图上轮廓线的方程式或一系列点的坐标，根据它们画出展开图或用数控自动切割机直接进行切割板料。

画制件的展开图就是要求画出它的各个表面的实形，并将它们顺序地连画在一起。金属板材制件千形万状，但它们的表面不是平面就是曲面。平面的实形是比较容易求出的，而曲面则有可展曲面和不可展曲面之分，凡是在理论上能够完全准确地展开成平面图形的曲面称为可展曲面，相邻两素线互相平行或者相交的直线面，如柱面，锥面等属于可展曲面；以曲线为母线的曲面和相邻两素线互相交叉的直线面称为不可展曲面，如球面、环面、正螺旋面等。对于不可展曲面只能近似展开，即用平面或可展曲面来近似地代替，画其展开图。

画制件表面展开图的方法，通常有计算法和图解法两种。

计算法就是用求立体表面积的公式算出展开图的尺寸，按尺寸画图。如图1示例，圆筒管的表面展开图是一矩形，其一边长为πD（D为圆筒管的直径），另一边长为圆筒管的高度H。又如图2为正圆锥面，其底面圆的直径为D，直素线的长度为L，它的表面展开图是扇形，该扇形的半径为L，扇形角α=D/L·180°。计算法虽然比较准确，但是对于形状不太规则的曲面，就不便于精确计算或者计算起来显得太繁杂，因此应用这种方法受到一定的限制。

图解法就是用画法几何的作图原理和方法，求画制件各表面的实形，并顺序地连成片，得到制件的展开图。这种方法在生产上广为采用。仍以圆筒管和正圆锥面为例，见图3和图4，用图解法画其展开图就是先将它们的表面分成若干部分，每一部分又用平面来代替，再顺序而连续地将它们摊平，即得表面展开图。显然，这种展开图是近似的，但只要等分数量恰当，则其误差不会太大，为实际生产所允许。

在许多情况下，可综合采用计算法和图解法来画制件的表面展开图，这样既准确又简便。除上述两种方法外，画展开图还有其他一些方法。

由制件的视图画其展开图时，要求制件各个表面的实形，就必须先求出一系列直线段的实长。如图5示例，AB为一空间直线段，其正面投影a'b'即为AB的主视图；其水平投影ab即为AB的俯视图，其侧面投影a‘’b‘’即为AB的左视图。由表可见，当直线段在投影体系中处于投影面的平行线或垂直线位置时，则在视图上可以直接量出它的实长。

当直线段AB对各个投影面既不平行又不垂直时，则其三面投影都不反映实长，见图6所示。怎样求对投影面处于一般位置的直线段的实长呢?这是画展开图时首先需要解决的问题，下面介绍两种方法：

⒈直角三角形法

图7上图为一般位置直线AB向正面投影面和水平投影面分别进行投影的立体图。因为Aa'⊥正面，所以Aa'⊥a'b'，同理Bb'⊥a'b'，在直角梯形平面ABb'a'内作A1⊥Ba'b'，即A1B⊥Aa'，则构成一个直角三角形ABA1。在这个直角三角形中，一直角边A1B=a'b'，另一直角边AA1=Aa'-Bb'， Aa'为A点的y座标值，用ya表示，Bb‘为B点的y座标值，用yb表示，则AA1=ya-yb，而斜边即为实长AB。图7下图表示在投影图上的作图方法：以a’b‘为一直角边，以ya-yb的长度为另一直角边，完成一直角三角形，则其斜边Ab’即为AB的实长。这种方法称为直角三角形法。同理，也可以ab为一直角边，以zb-za为另一直角边，所画直角三角形的斜边aB也是AB的实长。

直角三角形的作图位置可按需要安排在适当部位，但是三条边的相对关系是不变的，即一条直角边为某一投影的长度，另一直角边为线段两端点在垂直于该投影面的轴向座标值之差，斜边则为空间直线段的实长。如图7下图在不同的位置画出四个直角三角形，两两相同，它们的斜边都是AB的实长。

⒉旋转法

仍以一般位置直线段AB为例，见图8左图立体图。为求AB的实长，可将直线段AB绕过B点的铅垂轴线O旋转，使AB旋转到与正面投影面相平行的位置A1B时再进行投影，则正面投影a1‘b'便反映AB的实长。因为B点在旋转前后位置不变，所以b'、b都未变动，A点绕铅垂轴旋转的轨迹为一水平圆周，其水平投影反映实形，其正面投影为一水平线段。在投影图上的作图过程见图8右图：先以b为圆心，ba为半径画弧，与过b点且平行于X轴的直线交出a1点；再由a1求得a1’，则b‘a1’即为AB的实长。

同理，也可令AB绕正垂轴线O旋转到水平线AB1的位置，如图9左图所示，则其水平投影ab1反映AB的实长。图9右图表示在投影图上的作图过程：先以a’点（即正垂轴的正面投影o'为圆心，以a‘b’为半径画弧，求得b1‘点，再由b1’求得b1，则ab1即为直线段AB的实长。

采用旋转法求一般位置直线段的实长时，旋转轴线以及旋转方向的选取应使作图简便，图形清晰。

组合形式的制件，其表面上会出现两个或两个以上的形体表面的交线，称为结合线，又叫相贯线。

由于构成相贯体的基本形体的几何形状及其相互位置的不同，结合线的形状也就多种多样，因为结合线总是两形体表面的共有线，又是相交两形体表面的分界线，画这类制件的展开图时，必须先正确地求出结合线的投影，才能准确地画出展开图，使钣金制造顺利地进行，并保证产品的质量。

因为结合线是两形体表面共有点的集合，所以只要求出两形体表面上必要的共有点（一般先求特殊位置的点，再找若干中间点），再将这些共有点依次而光滑地连接起来，便得到结合线。那么，两形体表面的共有点又如何求呢?下面介绍常用的几种方法：

⒈辅助线法

当相交两形体表面中某形体的某一投影具有积聚性时，则结合线在该面的投影为已知，由已知的投影可求出相应的辅助线上点的投影，再依次而光滑地连接之，便求到结合线的其他投影。这种在形体表面上取线找点的方法，简称为辅助线法。

⒉辅助平面法

用一辅助平面同时截两相贯形体，分别产生两交线，两交线的交点即为相贯两形体表面的共有点，也就是结合线上的点。用一系列的辅助平面，可求出结合线上一系列的点的投影，再依次而光滑地连接之，便得到结合线的投影，这种方法称为辅助平面法。

⒊辅助球面法

当回转体轴线通过球心时，其表面交线为圆，如图10示例，该圆在轴线所平行的投影面上的投影成一直线，直线的长度即为交线圆的直径。因此，当两轴线相交且同时平行于某一投影面的回转体相贯时，为求其表面的结合线，可用辅助球面与两回转体同时相交，其交线圆在投影图上也是简单易画的，两交线圆的交点即为结合线上的点，用一系列的辅助球面亦可求到一系列的两面共有点，再依次而光滑地连点成线，这种方法称为辅助球面法。

正方体共有十一种展开图，如图11