奇异函数是指
函数本身有不连续点或其
导数或
积分有不连续点的一类函数。奇异函数也称为脉冲函数或麦考雷函数，它可用来描述任何不连续的单个方程式。在信号与系统分析中，经常会用到奇异函数。
在物理学中，经常要用处理一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的
微分等问题，因而引入一种“非正规函数”。这种函数最初于二十世纪三十年代，由著名物理学家
狄拉克在量子力学研究中引入和定义。后来被命名为“狄里克δ函数”，简称为“δ函数”。五十年代法国数学家
施瓦茨在深入研究δ函数性质的基础上，创立了分布论（亦即
广义函数论）。他从理论上严格证实了不仅可以使用δ函数，而且还可以δ函数及其各阶导数，从而使δ函数理论趋于完整和严密。
在物理学中，人们习惯的将包括δ函数的各阶导数，
亥维赛（O.Heaviside）阶跃函数（简称为阶跃函数）及其各阶积分的函数族称为奇异函数。在物理学中，奇异函数应用最多的是阶跃函数u(t)和δ函数δ(t)。
（1）力学中,集中量和分布量是经常遇到的两种物理模型。如集中质量和分布质量,瞬时作用力和持续力等等。集中量和分布量的差异,给使用基于
连续函数的传统解法带来了限制,因而在传统的力学中,当遇到因集中量造成的不连续时,往往将对一个完整的问题的论述与表达进行分割和支离式的处理。实际上集中量与分布量可以用统一的方法来处理,所用的数学工具就是奇异函数。
（2）电路分析中,阶跃函数是常用函数。当要表示一分段表示的信号时,利用阶跃函数则一目了然。例如，可用阶跃函数表示理想化了的开关接通信号源的情况。当
信号为
脉冲形式,利用阶跃函数则使表达式变得简单。
3.在信号分析中，视奇异函数为单元函数，可把任一函数分解为奇异函数的和，此时用该分解求线性非时变系统的
零状态响应。
在材料力学中,一般是用
截面法及
积分法来求解梁弯曲时的内力及变形。此法对于
载荷在梁长度上连续变化时比较方便,但当梁上出现不连续载荷时,如一个梁上同时作用多个集中力、集中力偶及分布力时,则必须分段写出不同组的
剪力和
弯矩方程,常常导致很繁琐的结果。例如,在求解梁的变形时,当梁上外力情况复杂时,将梁分成n段,对于弯矩M(x)在不同区段内的表达式分别列出n个
挠曲线微分方程;然后逐段分别积分两次,得到2n个积分常数,再由边界条件及连续条件求得。如果采用奇异函数,则可使某些问题的演算大为简化。由于奇异函数所表达出
不连续性,那么,作为轴向位置函数的载荷集度(每单位长度的力)就能以一个方程的形式写出,直接积分就得到整个梁的剪力方程,而剪力方程的积分就得到整个梁的弯矩方程。这样,可根据一个方程直接观察到整个梁的
内力情况。如果对弯矩方程再积分两次,则可得到一个方程表示整个梁的挠曲线,这时仅有两个积分常数需满足支坐
边界条件。