复变函数是复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，设为w=f(z)。如果设z=x+iy，w=u+iv，那么复变函数w=f(z)可分解为w=u(x，y)+iv(x，y)，所以一个复变函数w=f(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。一些实际问题推动着复变函数理论的产生和发展。早在1752年，达朗贝尔关于流体阻力的研究中，便考虑在什么条件下当平面上的点(x，y)趋于一点时，复值函数u(x，y)+iv(x，y)存在导数。

19世纪前半叶，柯西(A.Cauchy)为复变函数理论的建立奠定了基础，他定义了复变函数的积分，并证明了柯西积分定理，从柯西积分定理出发，可以得出一系列重要结论，诸如柯西积分公式，柯西不等式，唯一性定理，最大模原理等。特别地，若f(z)在域D内解析，则它的任意阶导数存在。作为柯西积分定理的推广，则有应用广泛的留数定理。代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论。应用它可以计算一些较复杂的定积分。复变函数论的主要内容有解析函数的基本理论，黎曼面和保角变换的理论，整函数和亚纯函数，特殊函数和调和函数等。在复变函数的应用上，保角变换具有重要的地位。茹科夫斯基通过保角变换研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中，常常要借助于近似方法具体地构造出变换函数。从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分，它曾推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。