埃尔米特多项式_数学名词 - 威林百科weilinceramic.com

埃尔米特多项式

数学名词

埃尔米特多项式得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。

定义

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式（又记作：）：

另一种是物理学中较为常用的形式（又记作：）：

这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是：

概率论中常用第一种定义，因为是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

性质

多项式Hn是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2。

正交性

多项式Hn的次数与序号n相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

（概率论）

（物理学）

也就是说，当m≠n时：

除此之外，还有：

（概率论）

（物理学）

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

方程的的边界条件为：u应在无穷远处有界。

其中是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取∈。对于一个特定的本征值，对应着一个特定的本征函数解，即。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

其本征值同样为∈，对应的本征函数解为。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

参考资料

最新修订时间：2023-03-12 21:03

条目作者

概述

定义

参考资料