地球自由振荡（free oscillations of the earth） 地球在受到大地震、火山爆发或地下核爆炸的激发后，会发生整体的振动，并能持续一段时间。由于地球很大，地球自由振荡的周期较长，一般为数十秒至数十分钟。通常振动很微弱，只有用灵敏的、可探测长周期振动的重力仪、应变地震仪和长周期地震仪等才能记录到。大地震激发的地球长周期自由振荡往往延续几天甚至几个星期才会逐渐消失。

地球自由振荡

free oscillations of the Earth

局部受到某种因素的激发时，地球整体产生的连续振动。地球在受到大地震、火山爆发或地下核爆炸的激发后，会发生整体的振动，并能持续一段时间。,这类地震与地球的固有振动有关。

由于地球很大，地球自由振荡的频率很低，振动周期一般为数十秒至数十分钟。通常振动亦很微弱，只有用灵敏的、可探测长周期振动的重力仪、应变地震仪和长周期地震仪等才能记录到。大地震激发的地球长周期自由振荡往往延续几天甚至几个星期才会逐渐消失。人类对地球自由振荡的认识是从理论研究开始的。

1829年法国人S.D.泊松最早研究完全弹性固体球的振动问题。此后的理论工作延续多年，20世纪地震学有了发展，使人类对地球内部构造有了更加清楚的认识，从而自由振荡的理论模式才比较接近真实地球。理论研究表明，自由振荡只能取一些特定的频率，称为地球的本征频率。与本征频率相应的振动叫做本征振荡。每一种本征振荡都对应一种驻波，是地球的一种谐振形式。本征振荡分成两类：①球型振荡。地球作球形振荡时，其质点位移既有径向分量，也有水平分量。这是一种无旋转振动。重力仪、应变地震仪和长周期地震仪均可记录到这种振动。②环型振荡。地球作环型

1952 年11月4日堪察加大地震时，美国人H.贝尼奥夫首次在他自己设计制做的应变地震仪上发现周期约为57分钟的长周期振动，经研究属于地球的自由振荡。1960 年5月22日智利大地震时，贝尼奥夫和其他几个研究集体都观测到多种频率的谐振振型。地球长周期自由振荡的真实性遂被最后证实。已观测到的本征频率已达1000多个，其中球型振荡约占2/3，环型振荡约占1/3。

早在19世纪中叶,开尔文通过固体潮分析推算出剪切波在整个地球传播一周约为68 min,这是人们对地球自由振荡本征周期的首次推算.兰姆在讨论均匀弹性球体的动力学方程时发现了球型和环型自由振荡现象.Love研究了重力作用下可压缩球体的静态形变和小幅振动问题,并计算获得了均匀地球模型的最长球型自由振荡周期约为60min。20世纪50年代以后,人们通过对地震体波和面波的走时分析,发现球形非旋转球对称各向同性弹性地球(SNREI)模型在一定精度范围内是相当实用的.该模型由一组关于向径r的密度函数ρ(r)、Lame系数λ(r)和弹性系数μ(r)来描述.Jobert利用Ray-leigh原理计算了地球自由振荡的本征频率(或本征周期),也称为自由振荡的简正模,这是一项十分早期的工作.采用Bullen-B地球模型计算得到了环型自由振荡二阶基频简正模0T2的周期为43.54 min.后来又采用同样的方法得到球型自由振荡二阶基频简正模为53 min，Jefferys等提出了利用Ray-leigh-Ritz展开法计算自由振荡简正模，Takeu-chi采用这种展开法计算了地球环形振荡的球谐展开前三阶低阶简正模,得到0T2为43.4 min。Al-terman等提出了一种简洁的变量代换方式，将描述球型和环型自由振荡二阶偏微分方程组转化为一组常微分方程组,从而奠定了利用现代数值积分技术计算地球自由振荡本征周期的基础.基于均匀球对称弹性球体模型,Pekeris等得到了描述球型和环型自由振荡的解析解形式，这些结果对于后来的研究,特别是在选择数值积分所需的变量初值提供了有效参考意义，此后许多学者如Sato和Usa-mi,Takeuehi和Saito等都曾研究过地球自由振荡简正模问题,较系统地研究了与数值积分有关的方向、变量在边界面上的传递和处理,以及初值的选取等重要问题。

Benioff等在处理1960年5月22日的智利大地震期间的应变仪观测资料时发现了地球自由振荡的长周期特征.与此同时,Ness等在分析了同一地震期间拉科斯特弹簧型重力仪(LCR)观测资料,得到了由地球自由振荡激发的类似长周期波.比较发现利用应变仪和重力仪观测得到了许多类似的频谱,测定周期也十分吻合.但进一步的比较发现,在应变仪资料中记录到的一些频谱没有出现在重力观测资料中.后来Pekeris指出Ness的重力结果中缺少的正是他在理论上计算获得的环型振荡部分,而重力仪是记录不到这种环型振荡的.因此由相应独立的两组观测技术获得的结果与理论计算的一致性证实了地球自由振荡现象的存在,同时揭开了这个地球物理学分支的帷幕.此后,不断有报道获得地球自由振荡现象的观测结果.采用高分辨率的谱分析技术,Dziewonski和Gilbert(DG)分析了阿拉斯加Ms8.5级地震期间全球84个地震台的观测资料，获得了十分重要的完整地球自由振荡观测结果,这些结果一度曾被国际同行公认为是国际上最好的观测结果,并在研究地球内部构造中发挥了重要作用。

我国学者也曾在地球自由振荡的数值计算方面作过研究。方俊讨论了地球环型和球型自由振荡的数值计算问题,利用1066A地球模型分别获得了一套本征周期,讨论了地球内部密度参数和弹性参数的变化对本征周期的影响和由地心到地表(或由地表到地心)的数值积分方案。结果表明在基频中仅0S2和0S3球型振型的振荡可穿透液态地核达到固态内核.另外傅承义等阐述了地球自由振荡满足的基本弹性运动方程及其边值条件,还讨论了地球自由振荡的观测及地球自转和扁率对观测频谱的影响.郭俊义较详细讨论了从旋转坐标系下的地球微小弹性运动方程推导地球自由振荡的常微分方程组的过程。

人类对地球自由振荡的认识是从理论研究开始的。1829年法国泊松(S.D. Poisson)最早研究了完全弹性固体球的振动问题。此后,英国的开尔文(Kel-vin)和达尔文(G.H.Darwin)也有重要贡献。尽管理论工作延续多年,但只是在20世纪,地震学的发展使人类对地球内部构造的认识更加清楚以后，理论模式才比较接近真实地球。1952年11月4日堪察加大地震时,美国贝尼奥夫 (H.Benioff)首次在他自己设计制作的应变地震仪上发现周期约为 57分钟的长周期振动。1960年5月22日智利大地震时，贝尼奥夫和其他几个研究集体都观测到多种频率的谐振振型。地球长周期自由振荡的真实性遂被最后证实。至今已观测到的本征振荡频率已达1000多个，其中球型振荡约占三分之二，环型振荡约占三分之一。图1为由设在美国加利福尼亚伊沙贝拉台的应变地震仪记录得到的两个地震激发的地球自由振荡的功率谱密度曲线。δ是应变地震仪水平轴线同台站至震中大圆弧之间的夹角。

通过内引力计算，如果把地球作近似均匀考虑那么它自身固有振震周期，通过弹性微分方程可以计算到

只取弹性部分 X”=-3g(x/R) 非线性部分没有计算，它不会影响周期与频率的

得g(t) =-3gSIN(sqrt (3g/R)t) , sqrt() 表示平方根运算

周期T=2πsqrt (R/3g) 频率f=1/T

平均长周期约为48分45秒，频率为0.000341117HZ超低频的。与长周期振动很接近，那么引起震荡的力可以认为是内部弹性引力引起的。

以上是通过近似计算的数据，如果考虑地球分层结构，通过计算它的不同层的震荡分别存在以下周期

理论

地球自由振荡的理论是在适当的定解条件下求解确定地球振动的微分方程组。方程组中包含 4个微分方程式，即：表示牛顿定律的动量守恒方程；表示质量守恒的连续方程；表示万有引力定律的泊松方程；表示介质弹性的弹性方程。振动引起地球形变后必须满足的定解条件是：①振动在地心处有限；②地球外表应力为零；③在地球表面和地球内部分界面上重力位及其梯度连续；④在地球内部的固体和固体间分界面上位移和应力连续；⑤在地球内部的固体和液体分界面上，法向位移连续，切向应力为零。通常是在以地心为原点的球极坐标系中用驻波法求上述问题的解。

满足上述方程组和边界条件的振动只能取一些特定的频率，称为地球的本征频率，相应的本征角频率通常用nω嬓来表示，其数值取决于3个整数指标n，l和m。与本征频率相应的振动称做本征振荡。每一种本征振荡都对应一种驻波,是地球的一种谐振形式。n代表某一振型振动位移沿地球半径方向的节点数;l-|m|表示位移在余纬方向的节点数（|m|≤l）；2|m|表示位移在经度变化方向的节点数。 n最小时（0或1）的本征频率称基频，其余称谐频。

本征振荡分成两类。一类叫球型振荡,通常用nS嬓表示。地球作球型振荡时，其质点位移既有半径方向的分量，也有水平分量。这是一种无旋转振动。重力仪、应变地震仪和长周期地震仪均可记录到这种振动。另一类叫环型振荡，通常用nT嬒表示。地球作环型振荡时,各质点只在以地心为球心的同心球面上振动，位移无径向分量，地球介质只产生剪切形变，无体积变化，地球的重力场不受扰动,重力仪记录不到这种振荡。图2绘出3种最简单的振型0S孊、0S嬽和0T嬽的振动方式。振型 nT孊无意义，因为它表示地球各点位移恒为零。此外，地震及其他内力源激发不起。S嬒和0T嬼。0S嬒表示地球整体象刚体一样在太空中振动，按动量守恒定律,任何内力都不能激发这种振动。0T嬼表示地球自转角速度有变化，按角动量守恒定律，任何内力也都不可能激发这种振动。理论上，地球的谐振振型有无穷多个，实际的振动就是这无穷多个振型叠加的总结果。 　对于球对称的球体，n和 l相同而m不同（m=0，±1，±2，……±l，共2l+1个）的振型都有相同的谐振频率，这种情形称为振型的简并。地球的自转效应使地球的振荡频率对m不再简并。在振动的频谱图上，每条与某n和l相应的谐振谱线分裂为2l+1条,它们等间距对称地分布在m=0谱线的两侧,这与原子光谱线在磁场中发生分裂的塞曼效应十分相似。自转还会使质点振动方向发生像傅科摆一样的变化，从而导致球型振荡与环型振荡发生耦合。真实地球并非球体，而是接近于旋转椭球体。地球的椭率效应使频谱线产生很微小的移动，造成分裂谱线的不对称性。对低频振型，自转效应比椭率效应大得多；高频振型反之。实际观测中因有干扰，不易发现椭率效应。

计算不同地球模式产生的自由振荡频率，并与观测频率对比，可以检验并改善地球模式，从而研究地球内部的结构，与用地震体波研究地球内部结构的方法互为补充。测定相继时间间隔内地球自由振荡频谱谱峰的平均能量，或测定谐振谱峰的宽度（通常以能量降至谱峰能量的一半时相应的频率变化来量度），可以研究振动能量在地球内部的衰减情况，并进而研究地球介质的非弹性性质。此外，根据给定的地球模式和尝试的震源参数计算自由振荡的振幅和相位，然后与相应的观测值对比，可以确定地震的震源参数。