四边形不等式（Quadrilateral Inequality）是一种比较常见的优化动态规划的方法。

如果对于任意的a1≤a2＜b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

设m[i,j]表示动态规划的状态量。

m[i,j]有类似如下的状态转移方程：

m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

m满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

通常的动态规划的复杂度是O(n^3)，我们可以优化到O(n^2)

定义s(i,j)为函数m(i,j)对应的使得m(i,j)取得最小值的k值。

我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

那么改变状态转移方程为：

m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

所以总复杂度是O(n)

对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k＜d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有mk[i+1,j]≥md[i+1,j]

(mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])

=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i＜i+1≤k＜d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

证毕

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是：