我国古代一种四元高次方程组解法，即近代多元高次方程组的分离系数表示法。元成宗大德七年（1303年），大都（今北京）数学家朱世杰，撰成《四元玉鉴》一书，为传统四元术之代表著作。朱世杰四元术，以天、地、人、物四元表示四元高次方程组，其求解方法和解方程组的方法基本一致，早于法国数学家别朱(Bezout)于1775年才系统提出的消元法近五百年，领先于世界，是我国数学史上的光辉成就之一。

四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。天元术是一元高次方程列方程的方法。天元术开头处总要有“立天

元一为××”之类的话，这相当于现代初等代数学中的“设未知数x为××”。四元术是多元高次方程列方程和解

方程的方法，未知数最多时可至四个。四元术开头处总要有“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即相当于现代的“设x，y，z，u为××，○○，△△，**”。天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数(x)的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推广。按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项(元气居中)，常数项下依次列入x各次幂的系数。左边列y，y2，y3，…各项系数，右边为z，z2，z3，…各项系数，上边为u，u2，u3，…各项系数，而把xy，yz，zu，…，x2y，y2z，z2u，…各项系数依次置入相应位置中。例如：x+y+z+u=0。而(x y z u)2=A，即将(x+y Z+u)2=x2 y2+z2+u2+2xy+2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy，2yz…等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如2xu，2yz的系数记入夹缝处，以示区别。

(1)加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置上的两个系数相加、减即可。

(2)乘：

(1)以未知数的整次幂乘另一四元式，如以刀，x，x2，x3，…乘四元式，则等于以该项系数乘整个四元式各项

再将整个四元式下降，以x乘则下降一格，x2乘则下降二格。以y的各次幂乘则向左移，以z乘则右移，以u乘则上升。

(2)二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加。

(3)除(仅限于用未知数的整次幂来除)：等于以该项系数除四元式各项系数之后，整个四元式再上、下、左、

右移动。

上述四则运算也就是莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷”。在当时

中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵。

朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。其步骤可简述如下：

(1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出两个二元二行式，这相当于求解或将其写成更一般的形式其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都是只含z而不含x的多项式。朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是F(z)=A0B1-A1B0=0。

此时F(z)只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任何一式中，再解一次只含x的方程即可

求出x。

(2)二元多行式的消法不论行数多少，例如3行，则可归结为以A2乘(2)式中B2x2以外各项，再以B2乘(1)式中A2x2以外各项，相消得C1x C0=0。(3)以x乘(3)式各项再与(1)或(2)联立，消去x2项，可得D1x D0=0。

(4)(3)，(4)两式已是二元二行式，依前所述即可求解。

(3)三元式和四元式消法

如在三元方程组中(如下列二式)欲消去y：

式中诸Ai，Bi均只含x，z不含y。(5)，(6)式稍作变化即有以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得

C1y+C0=0。(9)(9)式再与(7)，(8)式中任何一式联立，相消之后可得D1y+D0=0。(10)

(9)，(10)联立再消去y，最后得E=0，(11)E中即只含x，z。再另取一组三元式，依法相消得F=0。(12)(11)，(12)只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即可得出一个只含一个未知数的方程，消去

法步骤即告完成。

以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹列成筹式进行的，虽然繁复，但条理明晰，步骤井然。它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在全世界，在13—14世纪之际，也是最高的成就。显而易见，在一个平面上摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是朱世杰四元术的局限所在。在欧洲，直到18世纪，继法国的E。贝祖(Béout，17779)之后又有英国的J。J。西尔维斯特(Sylvester，1840)和A。凯莱(Cay-ley，1852)等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究。