在
线性代数中，一个向量空间V被一个子空间N的商是将N“坍塌”为零得到的
向量空间，所得的空间称为商空间（quotient space），记作V/N（读作V模N）。
设V是域K上的一个
向量空间，且N是V的一个子空间。我们定义在V上定义一个
等价类，如果 则令 。即如果其中一个加上 中一个元素得到另一个，则与 相关。 的所在等价类通常记作
不难验证这些运算是良定义的（即与代表元之选取无关）。这些运算将商空间 转化为K上一个向量空间，成为零类。相对应的，
商映射即定义为 与等价类 之映射
设X为
拓扑空间，~为X的等价关系。π:X→X/~为典范映射。U⊂X/~，若π-1(U)为X中
开集，定义U为X/~中开集，则X/~在
商拓扑下为商空间。
令 为标准
笛卡儿平面， 是 中过原点的一条直线。则商空间 可与X中与Y平行的所有直线等价。这就是讲，集合 的元素是X中平行于Y的元素。这给出了以一种几何的方式看商空间的方法。
另一个例子是 被前 个标准基向量张成的子空间的商。空间R有所有实数 元组 组成。子空间，与 等价，由只有前 元素是非零 的所有 元组组成。的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后 个坐标相等。商空间 / 显然地
同构于 。
令 是一个
线性算子，T的核，记作 ，是所有 使得 的集合。核是 的一个子空间。线性代数
第一同构定理说商空间V/ker(T)同构于 在 中的像。一个直接推论，对有限维空间的
秩-零化度定理：V的维数等于核的维数（ 的零化度）加上像的维数（ 的
秩）。
如果X是一个
巴拿赫空间而M是X的一个闭子空间，则商X/M仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义X/M上一个范数为
局部凸空间被一个
闭子空间商还是局部凸的。事实上，假设是局部凸的所以 上的拓扑由一族半范数 生成，这里 是一个指标集。设 是一个闭子空间，定义 上半范数