商对象(quotient object)是商代数系概念的推广。它是子对象的对偶概念。设A，B为范畴C的两个对象。若有满态射π：A→B，则称B为A的商对象。

商对象(quotient object)是商代数系概念的推广。它是子对象的对偶概念。设A，B为范畴C的两个对象。若有满态射π：A→B，则称B为A的商对象。例如在环范畴中，若π：R→S为环的满同态，则ker π为R的理想且SR/ker π，即S在同构意义下为R的商环。用范畴语言讲，即S为R的商对象。

商范畴(quotient category)是代数系的商代数系及局部化的高度推广。若C为一个范畴，二元关系R对C中任两个对象A，B的态射集HomC(A，B)都给出一个二元关系RA，B，则必有一个范畴C/R(其对象类仍为C的对象类)，以及一个函子Q=QR：C→C/R使：

1.若f，f′∈HomC(A，B)且fRA，Bf′，则Qf=Qf′.

2.若D为一个范畴，H：C→D是一个使fRA，Bf′蕴含着Hf=Hf′的函子，则有惟一的函子H′：C/R→D使H′°Q=H.

3.函子Q关于对象是满单的。

由二元关系R必可诱导一个使RR′的最小的二元关系R′，使对任意的A，B，R′AB都是HomC(A，B)上的等价关系.于是按R′A，B可得商集HomC(A，B)/R′A，B.C/R关于A，B的态射集HomC/R(A，B)就取为HomC(A，B)/R′A，B，态射合成按显见的方式定义，这样得出的范畴C/R称为范畴C(关于R)的商范畴.例如取C=Top(对象为拓扑空间，态射为连续映射)，取R为同伦关系，则得C的商范畴C/R，它以拓扑空间A，B，…为对象，而HomC/R(A，B)则为A到B的连续映射之同伦类的集合。对局部小的阿贝尔范畴A，若B为A的塞尔子范畴，则可按下法定义一个范畴A/B，其对象类即A的对象类；其态射集(对任意的对象A，B)定义为：

其中，表集范畴中的正向极限，态射合成按显见方式定义。这个范畴A/B就称为A关于B的商范畴。A/B仍为一个阿贝尔范畴。

范畴是范畴论的基本概念之一。称C是一个范畴，是指C满足下述六点：

1.C有一个对象类{A，B，C，…}(不要求它是一个集合，即不要求它满足集合论的公理，只要求能判别出是不是它的对象)，常记为ObjC或简记C。

2.对C的任两对象A，B，有一个确定的集合(可为空集)Hom(A，B)，其元素称为由A到B的态射，记为f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.对给定的f∈Hom(A，B)与g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，称为f与g的合成。

4.Hom(A，B)与Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.态射合成满足结合律。

6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射)。

例如，以一切集合作对象，以集合映射作态射，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴RM等。以自然数为对象，a|b(表示a整除b)时定义Hom(a，b)有惟一元素φab，ab时定义Hom(a，b)=(空集)，也得到一个范畴。一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。