在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续函数。定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。

定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域（实数或复数）上的一个向量空间V，一个函数称为次线性函数，如果：

可以很容易证明，V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理说明，如果是一个次线性函数，是V的线性子空间|子空间U上的一个线性泛函，满足：

那么存在φ到整个空间V的一个线性扩张，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：

以及：

扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间V的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。

我们可以把的次线性条件稍微减弱，只需要：

这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。