对一切0≤r<1有界，则称f(z)属于函数族。族是由哈代(Hardy，G.H.)在1915年首先提出的，并对此做了一系列的研究工作，他证明了著名的凸定理：log Mp(r，f)是log r的
凸函数。
在20世纪上半叶，还有许多数学家，如法图(Fatou，P.J.L.)、李特尔伍德(Littlewood，J.E.)、里斯(Riesz，F.和Riesz，M.)、赛格(Szego¨，G.)和斯米尔诺夫(Смирнов，В.И.)等人对哈代族进行了研究并取得一系列相当深刻的结果.但那时对H的研究局限于所谓的“硬”分析范围，如研究H函数的边界性质及幂级数等，所用的工具也主要是复变函数与实变函数论.到了20世纪50年代，数学家们将看做度量空间，如对1≤p≤+∞，定义范数‖f‖p=Mp(1，f)，则是
巴拿赫空间；对0
则是
弗雷歇空间。引进
泛函分析等工具，将“软”“硬”分析结合起来研究空间，20世纪70年代和80年代，对的研究非常活跃，并得到了许多引人注目的结果。如在1971年，美国青年数学家费弗曼(Fefferman，C.)证明了的对偶空间为BMOA空间。
费弗曼主要由于理论的研究，获得了1978年的
菲尔兹奖。
广泛应用
理论不仅对分析和函数论(包括泛函分析和调和分析)本身有着深刻的影响，而且与数学的一些其他分支，如微分方程、概率论及力学等都有交叉联系。单位圆盘的空间的主要研究问题有：边界性质、积分表示、泰勒系数、结构问题、解析投影算子、对偶空间、极值问题及插值问题等。
单位圆盘上的空间可以推广到平面上任意区域和双曲型黎曼曲面上，也可推广到上去。与空间有关的重要函数类有奈望林纳类N和有界平均振动解析函数类BMOA。可以证明：
设f(z)是单位圆盘D内的解析函数，ζ是∂D上的给定点，如果当z在D内以ζ为顶点的任何角形区域内趋于ζ时，f(z)都趋于一确定值，则称f(z)在ζ有非切向极限值，记为f(ζ)。1923年，里斯证明了，若f∈H(0
这里c是实数，S(z)是奇异内函数，F(z)是外函数，即：
其中μ(t)是非减的
有界变差函数，其导函数几乎处处等于零。
延伸应用
单位圆盘上的解析函数称为内函数，如果f∈，且在∂D上几乎处处成立。可以证明，f(z)为内函数的
充分必要条件是f(z)能写成如下形式：
这里c为实数，B(z)为布拉施克乘积，S(z)为奇异内函数。内函数与
不变子空间有密切的联系。令S为的位移算子，即S(f)=zf(z)，f∈。的一个子空间M称为在S下不变，若zM⊂M。1949年，博灵(Beurling，A.)证明了下面的著名定理：H的子空间M在S下不变的充分必要条件是存在内函数G，使得：