同调论是现代数学的一门重要基础课。本课程教学目的是使学生掌握同调论基本概念、基本理论，了解同调论的方法及最新发展，同时，它也为进一步学习分析、几何及代数拓扑奠定了基础。本课程介绍“同调论”最基本的内容：预备知识,多面体及其单纯同调论，上同调论，奇异同调论，相对奇异同调论，同调论公理及同调论的应用等。在教学内容上充分体现了基础性、综合性、先进性。使学生了解同调论领域的最新进展和最新成果，充分体现课程内容的时代性和前沿性。

同调论是现代数学的重要基础课程，也是应用数学的基本研究对象之一，它偏重于用代数方法来 研究拓扑学问题,即用代数作为工具研究拓扑空间的自身结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。 同调论采用了极为有力的表述形式及高度抽 象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力,以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。同调论不仅在微分几何、复变函数、代数几何、抽象代数、代数数论、微分方程、对策论等其他许多数学分支中有着广泛的应用。而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如:电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用。已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，也是非数学类众多领域的本科生及研究生必修的数学基础课程。

代数拓扑学中的一个主要组成部分，研究与同调概念有关的课题。

考虑带有方向的曲面（块）与曲线（段）,如图1、图2中的圆盘均由旋转箭头定向。圆周Z与Z┡是比D与D┡低一维的图形,作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定D的边缘为Z，记作嬠D=Z；对于D┡,则应有嬠D┡=-Z┡。无底圆筒 C与它的上下边界W1与W0按所标箭头定向后有嬠C=W1-W0（图3）。在图 4环面T中，圆圈Z为曲面块 A的边缘，嬠A=Z，这时称闭曲线Z在环面T上同调于零，记作Z～0。闭曲线W在T上不同调于零，但嬠B=W-W1,这时称闭曲线W同调于W1，记作W～W1。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。 在图5的曲面S上,α、с、d都不同调于零,(b)～0，α不同调于с、d中的任何一个，但с～d。

将图6中圆盘边界上的每一对对径点（诸如A与A┡,B与B┡）粘合,得到的曲面p叫做射影平面

在p中为同一定向圆圈z。可以看出,在p中有z+z=2z～0，但z不同调于零。

H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。

0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。

除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭 头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7),等等。一般对于n维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段AB的一个定向可以用(A,B)表示,另一个定向则可用(B,A)表示;三角形ABC的一个定向可用(B,A,C)或(C,B,A)或(A,C,B)表示,另一个定向可用(B,C,A,)或(C,A,B)或(A,B,C)表示。

是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8之a这个单纯复形是由4个0维单形A,B，C，D；4 个一维单形AB，BD，CD，BC和1个二维单形BCD按照图8之a中所画的关系拼凑而组成的。图8之b这个单纯复形是由6个0维单形A，B，C，A┡，B┡,C┡,12个一维单形AB,BC,CA,A┡B┡,B┡C┡，C┡A┡，B┡C，A┡C，A┡B，BB┡，AA┡，CC┡，6个二维单形AA┡B，A┡BB┡，BB┡C，B┡CC┡，CC┡A┡，CA┡A按照图8之b中所画的关系拼凑而组成的。

单纯复形的n维链 　形 的线性组合叫一个n维链,其中取遍单纯复形K的所有单形，且每个单形取好了定向（0维单形不取定向）,αi为整数（即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形，且附一个整系数）。两个n维链之和定义为一个n维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群,这个交换群叫K的n维链群，记作Cn(K)。例如，图8之a 中的单纯复形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)-5(B,D)为一个一维链;图8之b中的单纯复形,4(A,A┡,B)-2(B,B┡,C)+(C，A,A┡)为一个二维链。

规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(A,B)的边缘为B-A，二维定向单形(A,B,C)的边缘为(B,C)-(A,C)+(A,B),三维定向单形(A,B,C,D)的边缘为(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C),等等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号嬠写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维

规定它的边 （即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和）。不难看出,一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态，这个同态叫做（下）边缘算子，记作:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘算子具有=0的性质。

满足的n维链x称为n维闭链。例如,图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群，记作Zn(K)。

如果一个n维链是某一个 n+1维链的边缘,则称此链为n维边缘链（即一个n维图形是n+1维图形的边缘）。例如图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)=嬠(B,C,D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群，记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。

由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维（下）同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链z与z怽的差为一个边缘链时,就叫z与z怽同调。如果z是边缘链，则称z同调于零。例如,图8b中的单纯复形,2个一维闭链(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。

如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。

单纯复形 K的全体单形的并集叫做一个多面体，记作│K│。对于多面体的同调群Hn(|K|;G)可以用Hn(K;G)来定义，即令Hn(|K|;G)=Hn(K;G)。

单纯映射 　给定了两个单纯复形K，L,且指定了K的每一个顶点（0维单形）到L的某个顶点的一个对应，并把K中的属于同一个单形的所有顶点对应到L的同在一个单形中的顶点，这个对应叫从K到L的单纯映射。单纯映射ƒ:K→L把 K中的每一个定向单形(顶点的一个顺序)映射到L中的一个定向单形（得到对应顶点的一个顺序,若有两个顶点的像重合，则理解为对应到0）,由此产生了一个从Cn(K;G)到 Cn(L;G)的同态，并且可以证明它把Zn(K;G)映射到Zn(L;G)，Bn(K;G)映射到Bn(L;G)。从这个同态可以导出一个从Hn(K;G)到Hn(L;G)的同态。

给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续映射F：│K│→│L│，可以将K适当重分成另一复形K┡,并用一个单纯映射去逼近F。利用这个单纯映射导出的同调群之间的同态得到Hn(│K┡│；G)到Hn(│L│；G)的同态，并且可以证明，Hn(│K┡│；G)与Hn(|K|;G)自然地同构。 于是记此同态为Fn：Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。

G为任一交换群，Hom(Cn(K).G)为所有从Cn(K)到G的群同态所组成的群，这个群叫做K的以G为系数的 n维上链群，记作Cn(K；G)。利用K 的边缘算子嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得对偶同态δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定义如下:设ƒ∈Cn-1(K；G),规定δƒ=ƒ嬠:Cn(K)→G。这个δ叫上边缘算子,具有δδ=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以G为系数的上闭链群Zn(K;G)，上边缘链群Bn(K;G),上同调群Hn(K;G)。当G为整数加群Z时，省去符号Z，简单记为 Cn(K)，Zn(K),Bn(K)，Hn(K)，等等。对于连续映射F：│K│→│L│,利用单纯映射去逼近，可得到同态。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理）,即Hn(|K|;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。

J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果│K│，│L│伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。

利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式：

其中αi为复形K的i维单形个数,(b)i为多面体│K│的i维贝蒂x(K)即K的欧拉示性数。从而证明了欧拉示性数是│K│的拓扑不变量。

单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构

,其中Z代表整数加群，θ(1,n)，…，θ(τn，n)为一串自然数，每个可整除后一个,叽表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1,n),…,θ(τn，n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。

带系数群G的同调群的构造，可由整系数同调群与G按照“泛系数”公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。

S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理，并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。

在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形映射到拓扑空间，来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的奇异同调群；利用单纯复形来逼近一个拓扑空间，用极限来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况，这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。

在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群，在其上引入了所谓上同调运算的额外结构，例如斯廷罗德幂，庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究，大大丰富了同调论的内容。