群的同态：设(M,*)和(S,·)是两个群，σ:M→S，∀a,b∈M，有σ(a*b)=σ(a)·σ(b)，则称σ为M到S的同态或群映射。

假设M，S是两个乘集，也就是说M和S是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算*与·的代数系统。σ是M射到S的映射，并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积，即对于M中任意两个元a、b，满足σ(a*b)=σ(a)·σ(b)；也就是说，当a→σ(a)，b→σ(b)时，a*b→σ(a)·σ(b)，那么这映射σ就叫做M到S上的同态。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，并且f将A的单位元变成B的单位元。

如内自同构就是一个常见的同态，且是一个自同构。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

如果 σ 是单射， 则称为单同态；如果 σ 是满射，则称为满同态（此时也会称M和S为同态）；如果σ是双射， 则称为同构（记作σ :M≈S），若M=S，则称σ为自同构。

如果M, S都是群， 那么同态也叫做群同态或群映射；单同态也叫做群单射；满同态也叫做群满射。

范畴论的基本概念之一。称C是一个范畴，是指C满足下述六点：

1.C有一个对象类{A，B，C，…}(不要求它是一个集合，即不要求它满足集合论的公理，只要求能判别出是不是它的对象)，常记为ObjC或简记C。

2.对C的任两对象A，B，有一个确定的集合(可为空集)Hom(A，B)，其元素称为由A到B的态射，记为f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.对给定的f∈Hom(A，B)与g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，称为f与g的合成。

4.Hom(A，B)与Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.态射合成满足结合律。

6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射)。

例如，以一切集合作对象，以集合映射作态射，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴RM等。以自然数为对象，a|b(表示a整除b)时定义Hom(a，b)有惟一元素φab，ab时定义Hom(a，b)=(空集)，也得到一个范畴。一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。

两个环之间的一种映射。设φ是环R到R′的一个映射，若它保持环的加法和乘法运算，即对任意a，b∈R有φ(a+b)=φ(a)+φ(b);　φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ为R到R′的同态。

在φ下R在R′中的像集记为Imφ，称为φ的同态像。R中一切在φ下的像等于零的元素的集合，记为ker φ={x∈R|φ(x)=0}，称为φ的同态核。

若Imφ=R′，即对R′中任意元a′恒存在R中元a使得φ(a)=a′，则称φ为R到R′的满同态，或称为R到R′上的同态，简称R同态于R′，记为R～R′。

设φ是R到R′的同态，若R中不同元素在φ下的像也不同，则称φ为单同态。φ为单同态当且仅当ker φ=0。当R′=R时φ称为R的自同态。