同余式是数论的基本概念之一，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)，或记为a≡b(m)。这个式子称为模m的同余式，若m∤ (a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：

一个整数a被m除时，得到商 和唯一的一个余数r，另一个整数b也被m除时，得到商 ，得到的唯一余数r也是，即(其中 )

那么我们说a与b对于模m，有同一个余数r，写成

可以简略地读作：对于模m，a和b同余，其中mod是英文模module的缩写。

(1)同余式可以逐项相加。

若 ，则

(2)同余式一边的数可以移到另一边，只要改变符号就可以了。

若 ，则。

(3)同余式的每一边都可以增加或减去模的任意倍数。

若，则。

(4)同余式可以逐项相乘。

若，则。

(5)我们可以将性质(1)(4)推广成以下的情形。

①若则

②若，则

(6)同余式两边的数如有公约数，此公约数又和模互素，那么就可以把两边的数除以这个公约数。

若，且，则。

(7)同余式两边的数和模可以同时乘上一个整数。

若，则。

(8)同余式两边的数和模可以同时被它们任一公约数除。

若，则。

(9)如果同余式对于模m成立，那么它对于m的任意约数相等的模d也成立。

若，则。

(10)如果同余式一边上的数和模能被某个数除尽，则同余式的另一边的数也能被这个数除尽。

若，则。

(11)同余式一边上的数与模的最大公约数，等于另一边上的数与模的最大公约数。

若，则。

在三国两晋南北朝时期的数学著作中，《孙子算经》卷下的“物不知数问题”和《张丘建算经》卷下的“百鸡问题”，是世界著名的数学问题。《孙子算经》三卷，作者不详，约成书于公元400年前后，《张丘建算经》三卷，作者张丘建，清河（今河北清河）人，生平不详，约成书于公元466至485年之间。这两部著作都被收入唐代《十部算经》，立于学官，并流传至今。“物不知数问题”亦称“孙子问题”，大意是：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问该物总数共有多少？这个问题应该求解一次同余组：，答案是。后来，孙子问题成为广泛流传的一种数学游戏，被称为“韩信点兵”等，并且还编有一首“孙子歌”：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”，这首歌诀暗示出问题的解法。但这不是同余式的一般解法。“孙子问题”与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术”，完满地解决了这一问题。他所得到的一次同余组解法公式，现被称为“孙子剩余定理”。

“百鸡问题”的大意是：公鸡1只，值钱5文；母鸡1只，值钱3文；小鸡3只，值钱1文。今有100文钱买鸡100只，问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？此题有三个未知数，仅能列出两个方程，属于不定方程问题。《张丘建算经》给出三组答案，并有一段说明文字。但是由于其中没有具体解法，因而引起种种猜测。对于中国古代如何解不定方程，至今众说纷纭，尚无定论，不定方程问题最早见于《九章算术》方程章的“五家共井”题，但术文简略，暗含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》也收录了百鸡问题，但数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但他仅给出一组，并说明这类问题“不用算筹，宜以心计”，即采用试算的办法去解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》引述了《辩古根源》（已失传）中的“百橘问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，是不完全的。直到19世纪，清代数学家才把这种类型的问题和求一术（一次同余组问题）联系起来，获得了比较完善的解法。晚于《九章算术》时代的公元3世纪古希腊数学家丢番图，对不定方程问题进行了深入的研究，取得了非常出色的成果。15世纪中亚数学家阿尔·卡西的“百禽问题”，与“张丘建算经”的“百鸡问题”非常类似，很有可能受到中国数学的影响。