计算结果显示HO^3+离子自发磁矩在低温下（T〈100K）明显出现了各向异性，并且随着温度的降低各向异性现象越来越明显，与实验结果符合较好，在理论上对HoIG中HO^3+离子自发磁矩在低温下出现各向异性现象做出了解释。
1引言人们在应用
磁性材料时，往往发现在不同方向上加相同大小的磁化磁场，将得到完全截然不同的
磁感应强度；同时，也发现要达到相同的磁感应强度，加在短方向上的外磁场比加在长方向上的外磁场要大，这些情况均表明了磁现象具有某些方向性，这些现象是如何产生的呢？下面将从铁磁物质的微观组成晶体进行讨论。2晶体磁化观察当材料的物理性能是某个方向的函数时，这种性能就被称为各向异性。样品磁化时，在某个特殊的方向上优先磁化，就称为磁各向异性。描述磁化过程的参数是磁导率。通常，这些参数是外磁场方向的函数：μ=μ(Ф,θ)。磁各向异性来源于样品的形状、结晶对称性、应力或原子对的有序化。Fe、Co、Ni单晶中磁各向异性的实验现象。在体心立方体结构的铁中，磁化在晶轴方向较容易，而在晶轴方向较困难；也就是说，在晶轴方向上，反铁磁化到饱和所需要的磁场比在其它方向上磁化所需要的小。在面心立方(FCC)结构的Ni中，现象与Fe恰恰相反：在晶轴方向磁化较容易，而在晶轴方向较困难。在磁化方向上，把Ni磁化饱和所需要的磁场要比把Fe磁化饱和所需要的磁场小。Co是六方晶体，它的易磁化方向是轴，要想在基平面达到饱和是非常困难的，所需的磁场要超过在Fe的方向磁化到饱和所需要的磁场。请注意Co磁场轴的刻度与其它的不同。如果外磁场的方向是沿着易磁化方向（相对于难磁化方向）的话，磁化达到饱和后，减小磁场到零，则将在该方向保留较多的磁化强度，即剩磁；在没有外磁场时，磁化强度将沿着易磁化方向。值得注意的是，从可看出，在磁场H=0时,对于Fe、Ni来说，剩磁是个非零的值，而Co的剩磁是零。定量测量磁场Ha中的磁晶（或其他）各向异性的强度需要把样品在难磁化方向磁化到饱和，这个场称为各向异性场。在一定方向磁化样品到饱和所需的单位体积能量一般由下式可得
在中磁化曲线倾斜的部分表示是在难磁化方向增加磁场时，
磁化强度矢量从易磁化方向转动到难磁化方向的过程。磁各向异性能量密度是在不同结晶方向上磁化曲线之间的面积。下面以最简单的单轴来讨论各向异性，在Co磁化曲线中，
单轴各向异性能量密度是由在基平面上使Co磁化到饱和所需的能量减去在c轴方向磁化到饱和所需要的能量（相比之下，后者基本上为零）。当外磁场强度减小时，磁矩的方向移到c轴方向，而其在难磁化方向上的分量为零。而Fe，Ni的各向异性能量，首先需定义各项异性的两个方向。从立方体
晶体材料上切下一碟形样品，立方体的三个主方向都可以在一个平面上看到。在恒定磁场下，通过测量平面中的磁化强度作为角度函数，可以得到数据，低于饱和强度是各向异性的。同时，这条曲线真实地反映了体系磁能与磁化角度θ之间的关系，也可看出能量最小值是在易磁化方向上。3各向异性的物理来源导致磁性异性的主要微观物理来源有：晶体场的对称性和自旋—轨道相互作用，成对相互作用，晶体场分裂。a.晶体场的对称性和自旋—轨道相互作用我们知道，影响电子状态和决定材料物理性能的关键作用可以用极性键和共价键来描述。极性键是在电负性完全不同的轨道间形成的，为了成键，轨道必须满足对称性和重叠性；在成键过程中，电荷从较高能轨道（较低电负性，阳离子）转移到较低能轨道（阴离子）。共价键是在具有相似电负性，并且满足对称性和重叠条件的两个原子轨道间形成的。如果一个原子局部晶体场有较低对称性，并且如果原子的成键电子具有不对称的电荷分布，那么原子轨道与晶体场的相互作用是各向异性的，即分子轨道的某种取向或成键电子电荷的某种分布在能量上是从优的，也就表明成键具有明显的方向特性。轨道角动量和晶体场都必须有低于球对称的轨道，有一个从优的特定方向；如果L·S是显著的，自旋也将有从优结晶方向。实线表示有利于强各向异性的组合，虚线表示弱的。上部的三个形状表示原子或离子二维波函数的对称性；软结构上的三个孔洞表示二维晶体电场的对称性。如果原子轨道有零角度磁矩（球形电荷分布），它就与晶体场的对称性无关，轨道可以对晶体有任何取向。进一步来说，因为对于所研究的自旋和轨道角动量方向之间没有偶合，自旋磁矩对由其他因子如外加磁场所决定空间方向是自由的。如果轨道有非零的Lz，它们可以假定在球形对称的晶体场中任意取向，但在较低对称晶体场中，只有某些取向是优先的，也就是说如果对于所研究的自旋和轨道角动量方向之间存在偶合，自旋将相对于L有一种特殊的从优取向。当存在磁各向异性时，外磁场将导致产生一个在μs在的转矩，但是S可以被耦合到L。可以辨别出两种极限响应取决于下述何者更强：晶体场能D（耦合L到晶格）或自旋-轨道相互作用（耦合L到S）。第一种情况，D＞L·S（通常是在3d过渡族金属和合金中），μs将对Hext显示出弱的各向异性响应，而μL则大多数被猝灭了，也就是被晶体场能D锁定在一个固定的方向上。在第二种情况下，L·S＞D（典型的列子是在稀土系中）μJ=μL+μS将对Hext做出响应，但是如果在较低的对称性的情况下，在一定方向上晶体的拉力是较强的。在后一种情况下，造成非常大的
磁晶各向异性，并且随着磁矩相对于晶体发生转动（必定是被非常大的磁场），各向异性轨道电荷分布的转动导致大的各向异性应变（磁致伸缩）。查材料的磁各向异性常数K1和K2中注意到，相邻的稀土元素（4f）Gd和Tb都有单轴晶体结构（因此低对称的晶体场），但是它们的第一各向异性常数相差两个数量级。产生这个不同的原因在于Gd的磁性状态4f7，有=0，而Tb有4f8，=3，因此，自旋-轨道的相互作用在Gd中基本为零，而在Tb中是强的。b.成对相互作用当自旋与轨道的取向藕合时，材料表现出一个具有晶体场对称性的磁各向异性，特别是局部的原子环境。这样，两个原子间相互作用的各向异性能可以用一个展开的多项式来表示，磁化强度与一给定近邻原子位置矢量间的角度为Ф：Wij(r,Ф)=g(r)+l(r)(cos2Ф-1/3)+q(r)(cos4Ф-6/7cos2Ф+3/35)+……从级数展开式中可看出：第一项不依赖Ф，形式上包括空间各向同性的效应，如交换偶合作用-JijSi·Sj，对各向异性没有贡献；第二项，偶级项描述单轴对称的各向异性；第三项多项式的系数g(r)，l(r)和描述着两个原子距离的变化，每一个分量的强度变化。一个晶体的
磁各向异性能可以通过加和所有原子对间的原子相互作用能w(r,)来计算。注意，当加和整个立方晶格，偶极项沮失。如果测量宏观立方各向异性，可以得出微观参数的数据，四极相互作用能。q=-2K1V=3/4K2q=9K1V/16=-27/64K2q=K1=-3K2/2因此，对于Fe，q=2.6X104J/m3，对于Ni，q=-4.5X103J/m3，这些相互作用能应谨慎对待。这样成对相互作用模型就从群论发展而来的宏观唯象学加入了一个微观维度。c.晶体场分裂前面已描述存在磁各向异性的条件是：(1)不对称的晶体场；(2)最高已占电子态具有一个非零的轨道角动量，因而轨道具有晶体场对称性；(3)非零的自旋—轨道相互作用，使晶体场与自旋相耦合。而对过渡金属离子来说，磁各向异性通常通过考察磁性离子价态的晶体场分裂，加到自旋-轨道耦合中来处理，在这里就不作详细探讨了。