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可测集

函数领域术语

可测集

若𝓕是X的σ代数，则称(X,𝓕)为可测空间，𝓕中的元称为X的可测集。

勒贝格可测集

设，若对任意的点集，有，则称E为勒贝格可测集，简称可测集。

注意事项如下：

（1）可测集的全体记为M，对于可测集E，称其外测度为测度，记为m(E)。

（2）称测度为零的可测集为零测集。空集、有限集、可数集皆为零测集。

（3）通常称定义中的条件为卡氏条件，称其中的集T为试验集。

相关定理

零集

零集为可测集。

证明：设E为零集，m*(E)=0，任意A⊂R，因为A∩E⊂E，所以有0≤m*(A∩E)≤m*(E)，得m*(A∩E)=0，于是

故E∈M。

可测集的补集

若E为可测集，则E的补集也是可测集。

可测集的并集交集

证明：对任意，易得，依次利用外测度的次可加性、B的可测性（取为试验集）以及A的可测性（取T为试验集），有：

且

故得到。

所以可知A∪B是可测集，从而也是可测集。

可数可加性

若是互不相交的可测集列，则并集为可测集，且。

证明：对任意的，由外测度的次可加性等性质可知

所以是可测集，令，则有。

可测集列的交与并

（1）若是可测集列，则并集为可测集，且。

（2）若是可测集列，则交集为可测集。

（3）若有递增可测集列，则，此时对可测集的极限有定义。

（4）若有递减可测集列，且，则，此时对可测集的极限有定义。

（5）任一可测集均可以表示为一列递增的有界可测集之并。

（6）任一可测集均可以表示为一列两两不交的有界可测集之并。

可测集类

第一类

中的矩体是可测集。

证明：设矩体，对任意矩体，不妨设。记矩体，把分割成有限个互不相交的矩体之并：，则有，从而得到

此时易得，矩体S为可测集。

第二类

由中开集的构造可知，每个开集可写成可列个互不相交的半开半闭的矩体之并，故开集必为可测的。由此易得到如下结论：

开集、闭集、集、集、Borel集皆为可测集。

可测集的等价刻画

设，则下列条件等价：

（1）E是可测集；

（4）存在

（5）存在

参考资料

最新修订时间：2022-09-24 10:54

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可测集

勒贝格可测集