变分法基本引理_专门用来变换问题表述的引理

变分法基本引理

专门用来变换问题表述的引理

在数学里，特别是在变分法里，变分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一种专门用来变换问题表述的引理，可以将问题从弱版表述（weak formulation）（变分形式）改变为强版表述（微分形式）。

叙述

代表阶导数连续（阶光滑）的函数空间，代表无限光滑的函数空间。

变分法基本引理：

设

若任意皆满足下列两式

则 .

证明

设且

因为只要存在一个不满足的，就可以证明，因此我们只须证明其中一个特例。

令满足下列两个条件：

并且令.

由可得到

因为在是正值，所以必须恒等于 0 ，与假设矛盾。

故。

应用

这引理可用来证明泛函

的极值是欧拉-拉格朗日方程式

的弱解。

欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何占有重要的角色。

参考资料

最新修订时间：2022-08-26 11:26

条目作者

概述

叙述

证明

应用

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