变分不等式(variational inequality)，经典变分问题的推广和发展，将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法。变分不等式已被广泛地应用于经济领域的均衡问题。运筹学问题及城市交通网络建模等问题。
定义
对于任一向量 ，定义
向量函数 是连续的， 是
可微的， 是线性仿射的(Linear Affine)。其中
为了叙述上的方便，仅假设
实值函数f(x)的梯度向量为如下的
行向量： ，向量值函数 的
雅可比矩阵为如下的n×m矩阵
定义如下集合
如果有向量 ，对所有的有 有
则此不等式就是一个变分不等式问题，并且 就是变分不等式的一个解。
变分不等式的解
解的定义
设 为变分不等式 的一个解，如果存在球邻域 使得对任意的 ，存在一个 使得
则称 就是变分不等式问题 的孤立解，即唯一局部解。
对于变分不等式问题，我们有如下结论：
定理1
变分不等式问题 有解的必要条件：如果向量是变分不等式的一个解，并且存在
梯度 ，使得梯度 ，和
线性独立，那么，存在参数向量 ，使得
解的存在性及唯一性
定理2
变分不等式有解的
充分条件：如果是凹的，并且有满足定理1中的三个式子，则就是变分不等式的一个解。
定理3
变分不等式问题有唯一局部解的充分条件：在满足定理2的条件基础上，如果F是可微的，并且满足：，对于所有的y≠0，使得
对所有
对所有
对所有的
则就是变分不等式的唯一局部解。
定理4
如果是强单调的，则定理3中三式成立，则变分不等式问题存在唯一解x。
变分不等式问题的求解方法
此处介绍求解变分不等式问题的一个著名的迭代算法，一般称为松弛算法(Relaxation Algorithm)。
求解变分不等式问题松弛算法的一般过程：
第一步：初始化。找一个初始可行点，令n=1。
第二步：松弛化。求解如下最优化子问题
设解为。
第三步：收敛性检查。如果满足收敛性，则停止；否则令n=n+1，转第一步。
在松弛算法中，对于固定的y，由于函数Z(x，y)的Hessian阵是对角阵，故在交通中常常也称松弛算法为对角化算法，对应的最优化子问题被称为对角化子问题。
在研究城市交通均衡配流问题时，当路段之间存在相互影响、而且这种相互影响是非对称时，我们就可以采用上述对角化算法来求解这种路段相互影响的用户均衡配流问题。