双曲正切函数（hyperbolic tangent function）是双曲函数的一种。双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。

双曲正切函数（tanh）是双曲正弦函数（sinh）与双曲余弦函数（cosh）的比值，其解析形式为：

考虑不等关系：可知，双曲正切函数的定义域为实数域。

导数

双曲正切的导数是双曲余弦的平方的倒数，即：

积分

双曲正切函数的不定积分有如下形式：

式中为常数。

泰勒展开

双曲正切函数的泰勒展开式为：

式中为伯努力数（Bernoulli number）。

反函数

双曲正切函数的反函数是反双曲正切函数，其定义为：

函数的定义域为开区间（-1,1），它在开区间（-1,1）内是单调增加的奇函数，图形关于原点对称。

与其他双曲函数的关系

除了双曲正切函数的定义式外，双曲正切函数还有以下式子。

1、和角公式：

2、差角公式：（和角公式的推导）

3、二倍角公式：（和角公式的推导）

4、恒等式：

双曲正切函数的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。

即双曲正切函数的值域是(-1,1)。

证明：

当 时，由于 ,则 。

当 时，由于 ，则 。

双曲正切函数是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称。

下面是证明：首先明确双曲正切函数的定义域是 。

。

而

得出，则证明出双曲正切函数为奇函数。

无论是双曲正切函数y=tanhx，还是双曲正弦函数y=sinhx、双曲余弦函数y=coshx，它们都不是周期函数。

双曲正切函数在区间 内是单调增加的。

证明如下：

对双曲正切函数求导。

而

得出双曲正切函数的导数为： 。而无论x取何值，双曲余弦函数的值始终大于等于1，得出x在 内大于0，单调递增。

双曲正切函数在 上是凹函数，在 上是凸函数。

根据定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在（a,b）内 ,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

（2）若在（a,b）内 ,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

则给双曲余弦函数二次求导，得

而双曲余弦函数恒大于0，而双曲正弦函数在x<0时，它的值小于0，x>0时，它的值大于0，即得出上述结论。