单调算子（monotonic operator）的概念起源于可微凸泛函的导数。设φ是在B空间X上定义的这种函数，则 <φ'(x)-φ'(y),x-y>≥0，对任意的x,y∈X，其中<，>表示X'与X之间的对偶。直线上的可微凸函数的导函数是单调不减的，于是就把满足特定条件的算子T:X→X'，称为单调算子，如果α>0则称为强单调算子。自反B空间上弱线段连续的强单调算子是 X→X* 的满射(所谓弱线段连续，指对任意的x,y∈X，T(x+ty)→T(x)当 t→0)。这个满射性定理是G.J.明蒂、F.E.布劳德给出的，它在非线性算子半群理论、非线性发展方程以及一类非线性椭圆型方程的存在性理论中经常用到。

单调算子的理论是非线性泛函分析中的一个重要分支，它在非线性偏微分方程、非线性积分方程及Banach空间微分方程等方面都有较广泛的应用。

设X是实Banach空间，X'是X的共轭空间。

定义1.1，设，算子T：D→X'，如果满足条件：

则称T是单调算子（映射），若当时，必有x=y，则称T是严格单调的。

从这个定义可以看出，若T是线性算子，则T为单调的充要条件是。

设，称G为单调集，如果

因此，T：D→X'为单调算子的充要条件为它的图像是X×X'内的单调集。

命题1.1，设H是Hilbert空间，则T：H→2H为单调的充要条件是

定义1.2，设，算子T：D→X'。

（1）设x0∈D，如果xn∈D，，则称T在x0处是次连续的（demi-continuous）。若T在D内每一点都次连续，则称T在D上次连续。

（2）设x0∈D，若h∈X，tn>0，x0+tnh∈D，，则称T在x0是半连续的（hemi-continuous）。若T在D内每一点都半连续，则称T在D上半连续。

（3）设x0∈D，T称为在x0处是局部有界的，如果存在x0的领域U，使得集合

在X'内是有界的。

显然，T在x0处连续→T在x0处半连续且T在x0处局部有界。

命题1.2，设T是极大单调算子，[xn，yn]∈G(T)满足xn→x，yn→y且，则[x，y]∈G(T) 且。

命题1.3，设T：X→X'是半连续单调算子，且D(T)=X，则T是极大单调算子。