复变函数是实变函数的推广，自变量和因变量均为复值的函数称为复变函数。只含有一个自变量的复变函数称为单复变函数（function of a complex variable ），含有多于一个自变量的复变函数称为多复变函数。

复变函数是实变函数的推广。自变量和因变量均为复值的函数称为复变函数。

设 为一复数集，若按照某一规律， 内每一复数 都有一确定的复数 与之对应，则称在 上确定了一单值复变函数 ；若对于自变量 的一个值，可能有几个或无穷多个 的值与之对应，则称在 上确定了一个多值复变函数 。 称为该函数的定义域，函数值 的全体所成的集 称为函数 的值域。

只含有一个自变量的复变函数称为单复变函数（function of a complex variable），含有多于一个自变量的复变函数称为多复变函数。

通常所说的复变函数论，指的主要是关于单复变解析函数的理论，简称单复变。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美而且深刻，在许多其他数学分支以及力学、工程技术学科中有着广泛的应用。

复变函数的一般理论起源于与实际问题有关的研究工作。达朗贝尔在关于流体的研究中，考虑两个实变数 的一个复值函数

并且研究在什么条件下，当 趋于一点时，这个函数有导数，而且这个函数要与 所沿的路径无关。为此只需将函数 看做是复函数 的函数 ，它在域 内定义，就可得出结论：当 作为 的函数在 内可微，且满足

时，函数 有导数。后来这个条件称为柯西-黎曼条件。由条件（1）可推知 都满足平面拉普拉斯方程

在这里，假定了 有连续二阶导数，所以 都是关于两个实变数的调和函数。当柯西对一般的含有一个复变数的可导函数进行研究时，他知道函数 可以看做是两个满足条件（1）的调和函数，也可以看做是 的一个可导函数 。最后他决定采取第二个观点，其原因之一是他考虑到函数的幂级数展式.他给出了一个函数 沿着复平面上一段曲线的积分的定义并证明了下列定理：如果一个函数 在复平面上的一个区域内有连续导数，而 为一简单闭曲线，它和它的内部均位于区域 内，则

这个定理是柯西理论中的基本定理。根据这个定理他得出了一系列重要结果，其中一个是：如果一个函数 在一个区域 内有连续导数，那么，在 的每一点a的邻域内 可以展为 的幂级数。这个结果表示：具有连续导数的复变函数和在拉格朗日意义下的解析函数是相同的。另一个很重要的结果是留数定理。这个定理有广泛的应用，它是柯西理论中的一项巨大成就。

关于单复变函数的理论，黎曼(Riemann，(G.F.)B.)一方面采用了与柯西相同的观点，另一方面也采用了将函数分成两个调和函数的观点。他对于调和函数进行了研究，并且认为他已经证明了下列定理：任给平面上的一个简单闭曲线，恒存在一个在的内部的调和函数，它在上取预先给定的连续变化的值。

不过外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))指出黎曼的证明中有一点并不显然。后来阿达马(Hadamard，J.(-S.))举出了一个简单的例子，肯定地说明了黎曼的证明是有问题的。虽然如此，黎曼的这项工作还是很有意义的.它引起了一系列的研究工作。黎曼从以上定理推出了一个关于共形映射的定理，后来经过施瓦兹(Schwarz，H.A.)及庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)等人的工作，这个定理可叙述如下：设为平面上的一个单连通区域，它的边界多于一点，为内一点并且为一实数，则存在唯一的一个在内的单叶解析函数将映射为平面上的单位圆，并且满足条件

这个定理称为黎曼映射定理。复变函数的几何理论即由此定理而产生。以上定理没有涉及区域的边界与圆周的对应。卡拉西奥多里(Carathéodory，C.)证明了：如果区域的边界为一简单闭曲线，那么，曲线上的点与圆周|w|=1上的点也一一对应。根据卡拉西奥多里的这个结果，可以得出上述黎曼认为已经证明了的关于调和函数的定理的一个严格证明。