半群是一个二元运算的代数系统。

非空集合S，S上定义了二元运算 （ 称为广群）。若运算 满足结合律，即：

，有

则称 为半群。

半群是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合的(即满足结合律的)二元运算“·”的代数系统(S，·)称为一个半群.半群(S，·)简记为S。

半群是群的推广。群自然是半群；反之显然未必。半群也是环的推广。环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代(虽然，这方面的工作可追溯到1904年苏士凯维奇(Suschkwitz，A.K.)关于有限半群的论文)。在数学内部和外部的巨大推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科，并早已以其特有的方法独立于群论和环论之外。在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)与普雷斯顿(Preston，G.B.)的两卷《半群代数理论》，这对半群代数理论的发展，在国际上起了巨大的推动作用。由德国斯普林格出版社出版的《半群论坛》更是有关半群理论的一个重要的国际性专门刊物.许多数学家在世界各地开展半群理论的研究和各层次高级人才的培养(直到博士后)。半群代数理论是半群理论中最基本、最活跃、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓扑和序理论。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环(参见第一卷《布尔代数》).要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

有限半群是与群论中有限群相平行的概念。半群S称为有限的，若|S|<∞。艾伦伯格(Eilenberg，S.)的《自动机，语言与机器》的卷B实际上是有限半群论。有限变换半群、有限半群的分解和分类等构成有限半群理论的重要课题。

设 是半群，若S是有限集，则称 是有限半群。

子半群是与群的子群相平行的概念。设S是一半群，≠US，若关于任意u，v∈U，有uv∈U，则称U是S的子半群。用U≤S表示U是S的子半群。

设 是半群， ， 在B上封闭，则容易验证 也是半群，称为 的子半群。

幺半群是指含幺元(即恒等元)的半群。半群M，若存在1∈M，使得关于任意x∈M，有x1=1x=x，则称M为幺半群.关于任意半群S，常用S表示一个幺半群.若S为幺半群，则S1=S；若S不是幺半群，则S1=S∪{1}，1S，S1的半群运算定义如下：在S上其运算与S的半群运算相同，而关于任意x∈S有x1=1x=x，且1·1=1。

设 是半群，若S中存在单位元（幺元），即：

，使 。

则称 为幺半群。

设 是半群，若运算 满足交换律，即：

，有 。

则称 是交换半群。