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半正定矩阵

数学名词

半正定矩阵，是正定矩阵的推广。实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，都有X'AX≥0.

定义

正定矩阵的研究最先出现于二次型与Hermite型的研究中，而且只限于对实对称矩阵或Hermite矩阵的使用。随着数学本身及其它学科(如数学规划、投入产出的矩阵理论、现代控制等)的需要,有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。

广义定义

定义1 设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X'表示X的转置，就称A为半正定矩阵。

狭义定义

（常用定义）

定义2 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≥0，则称A为半正定矩阵，称X'AX为半正定二次型。（其中，X'表示X的转置。）

注：1）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX>0，则称A为正定矩阵，称X'AX为正定二次型。

2）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX<0，则称A为负定矩阵，称X'AX为负定二次型。

3）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≤0，则称A为半负定矩阵，称X'AX为半负定二次型。

4）设A为实对称矩阵，若A既不是半正定又不是半负定，则称A为不定矩阵，称X'AX为不定二次型。

5）设A为Hermite矩阵，若对于每个非零复向量X，都有X*AX≥0，则称A为半正定复矩阵。（其中，X*表示X的共轭转置。）

性质

1.半正定矩阵的行列式是非负的。

2.两个半正定矩阵的和是半正定的。

3.非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

判定

定理设A是n阶实对称矩阵，则下列的条件等价：

1.A是半正定的。

2.A的所有主子式均为非负的。

3.A的特征值均为非负的。

4.存在n阶实矩阵C，使A=C′C.

5.存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B′B.

参考资料

最新修订时间：2023-11-18 18:57

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定义

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