群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。李群是由挪威数学家S.李创立的一类连续变换群。

半单李群(semi-simple Lie group)是与半单李代数相应的李群。设G为连通李群，若它的李代数为半单李代数，则G称为半单李群。连通李群G必为最大可解正规子群R和一个半单子群S的半直乘积G=R·S，即R∩S为G的中心内的离散子群，且R及S为G的闭子群。但是，分解不惟一，于是连通李群的结构问题，化为可解李群及半单李群的结构问题。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

李群是由挪威数学家S.李创立的一类连续变换群。

1870年前后，S.李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类。1874年，他建立了李群的一般理论。一个李群可以表示成如下形式：

其中fi对xi和ai都是解析的，xi是变量，而ai是参数，(x1，x2，…，xn)表示n维空间中的一点。变量或参数都取实数值或复数值。1883年，S.李借助于一组微分方程定义连续变换群。他的目的是用各种不同的方法把常微分方程的不同类型化成可由积分求解的形式，并建立起它们之间的一致性。S.李证明，如果一阶常微分方程接受由某个无穷小变换所确定的变换群，那么这个微分方程的解就可由积分式表达。他还考察了许多种带有已给变换的方程。这样一来，S.李就依据无穷小变换把微分方程进行分类。

李群理论在最初的相当长一段时间内仅与一些微分方程的积分有联系，而与数学的其他分支关系不大。在19世纪的最后10年以及20世纪，李群理论在各种不同方向，主要是代数学和拓扑学方面得到了迅速的发展，成为数学的一个重要分支。李群理论的第一个近代化的叙述是由原苏联数学家庞特里亚金于1938年给出的。20世纪50年代，李群理论的发展进入了一个新的阶段，主要标志是代数群论的创立。代数几何方法的应用使李群理论的经典结果得到新的阐述，从而揭示了它与函数论、数论等理论的深刻联系。紧接着，p进李群的理论也得到重大发展。事实上，李群理论与数学的几个主要分支都有联系：通过李变换群与几何学、拓扑学的联系，通过线性表示论与分析的联系等。李群在物理学和力学中也有着重要应用。

正规子群亦称不变子群。是一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG.子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。

李代数是一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家S.李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S.李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家É.嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，É.嘉当还构造出这些例外代数。É.嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

李代数是一类重要的非结合代数。记L为域F上的线性空间，若L中除了加法和纯量积，还有第三种代数运算：L×L→L，记为[x，y]，x，y∈L，它适合条件：

1.反对称性　[x，x]=0，　x∈L.

2.双线性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恒等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

则[x，y]称为x和y的换位运算，亦称“方括号运算”.这时L称为域F上李代数，简称李代数.当L的维数有限时，称为有限维李代数;当L的维数无限时，称为无限维李代数。例如，若L为域F上的结合代数，满足结合律的乘法，记为ab，a，b∈L，则运算[a，b]=ab-ba，a，b∈L为换位运算.在此运算下，L为李代数。特别地，若L为由所有n×n矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义

[A，B]=AB-BA

便构成一个n维李代数。

S.李是挪威数学家。生于努尔菲尤尔埃德，卒于克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆)。1865年毕业于克里斯蒂安尼亚大学。1869年获奖学金到柏林留学，与C.F.克莱因在一起工作并结为好友。第二年在巴黎又结识了达布和若尔当，受到法国学派的影响。1871年回国在克里斯蒂安大学执教，1872年获博士学位。1886年到莱比锡大学接替C. F.克莱因的职务主持数学讲座，12年后返回挪威。1892年当选为法国科学院院士。1895年成为英国皇家学会会员。他还是许多其他科学机构的成员。S.李的主要贡献在以他的名字命名的李群和李代数方面。1870年，他从求解微分方程入手，依靠微分几何方法和射影几何方法建立起一种变换，将空间直线簇和球面一一对应。不久他发现，这种对应是连续的，能将微分方程的解表示出来并加以分类。由此S.李引入了一般的连续变换群概念，证明了一系列定理来发展他的理论。他把微分方程的自同构群作为工具，对二维群和三维群进行分类。在以后的多年中，S.李和他的助手继续丰富完善连续群论学说，出版了3卷本的专著《变换群论》(1888—1893)，后人为纪念他的贡献，将连续群改称“李群”。为研究李群，他还创立了所谓“李代数”——一种由无穷小变换构成的代数结构，并研究了二者之间的对应关系。李代数现已成为现代代数学的重要分支。此外，S.李在代数不变量理论、微分几何学、分析基础和函数论等方面也有建树。S.李的工作在20世纪初由法国数学家E.嘉当等加以发展。