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勒让德函数

数学术语

在数学中，勒让德函数Pλ，Qλ和相关的勒让德函数Pλμ，Qλμ是勒让德多项式与非整数度的泛化。

简介

在数学中，勒让德函数Pλ，Qλ和相关的勒让德函数Pλ，Qλ是勒让德多项式与非整数度的泛化。

微分方程

相关的勒让德函数是勒让德方程的解

其中复数λ和μ分别称为相关的勒让德函数的度数和顺序。勒让德多项式是阶数μ= 0的勒让德函数。

这是一个具有三个常规奇异点（在1，-1和∞）的二阶线性方程。像所有这样的等式，它可以通过变量的变化被转换为超几何微分方程，并且其解可以用超几何函数来表示。

公式

这些功能实际上可以用于一般复杂参数和参数：

分母中包含伽马函数，2F1是超几何函数。

二阶微分方程具有第二个解，其定义为Qμλ（z）。

勒让德P和Q函数之间有用的关系是Whipple的公式。

积分表示

勒让德函数可以写成轮廓积分。例如，

其中轮廓沿正方向绕着点1和z旋转，并且不绕-1。对于真正的x，我们有

勒让德功能为字符

Ps的真实积分表示在L1（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的双陪集空间（见区域球面功能）。实际上，L（G / / K）上的傅里叶变换由

其中，

勒让德多项式

勒让德多项式是下列勒让德微分方程的多项式解：

其中n 为正整数。

生成函数

勒让德多项式的生成函数为

前几个勒让德多项式：

正交关系

勒让德多项式在（-1,1）取决满足如下的正交关系式：

第一类勒让德函数

其中F为超几何函数，v非整数。如v为整数，则解为勒让德多项式

第二类勒让德函数

参考资料

最新修订时间：2024-06-19 18:07

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微分方程

公式

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