力迫概念,指用于构造兼纳扩充的偏序集.
力迫概念(notation of forcing)公理集合论术语.设M为ZF(C)系统的可传模型,(P,镇>为M中的一个非空偏序集,则对M中的每个尸兼纳集G,由兼纳模型定理,存在M的兼纳扩充M[G],使得M [G]也是ZF(C)系统的可传模型.这里偏序集<P,镇)称为力迫概念,尸中的元素称为力迫条件(参见“力迫条件”).对给定的基模型,力迫概念决定了兼纳扩充模型的基本性质,因此,使用力迫法的关键在于选择适当的力迫概念.构造不同的力迫概念的技巧,形成了具有不同特色的力迫方法.最常用的力迫概念有下面几种:
1.有限部分函数偏序集F‑(I,J).其元素为定义域I的子集、值域为I的子集的有限函数,即 F‑(I,J)一p:lpl <八p为函数八dom(p) C I八ran(p) C J.F <(1,J)中的偏序关系蕊定义为函数的反包含关系,即若p,qEF(I,J)>,则pCq,当且仅当pCq.美国数学家科恩(Cohen,P.J.)于1963年证明连续统假设的独立性时就是使用这种类型的偏序集.更具体地说,科恩使用的是F(cXcu,2)型的偏序集,常称之为科恩偏序.
2.无穷部分函数偏序集(F.OI,J,).设几为无穷基数,令F(I,J,)=gyp: l p l +八p为函数八dom (P ) CI八ran(p)CJ,F‑(I,J,)中的偏序关系仍定义为函数的反包含关系.
3.莱维偏序集L,: ( c ).设、为任意基数,令 L,:(>=pIpl <八p为函数八dom (p ) CkX。n)E dom(pWpan> E a),L二(、)中的偏序关系定义为函数的反包含关系.
在上列偏序集中,F>, (I, J)与F(I,J,)具有很好的保基数性,而L,: c能崩塌基数.另外,使用偏序集的乘积、偏序集的完备或稠密嵌人等技巧,也是构造新力迫概念的重要手段.