李普希茨（Lipschitz,Rudolf Otto Sigismund 1832.5.14—1903.10.7）是德国数学家。生于柯尼斯堡，卒于波恩。1847年入柯尼斯堡大学，不久转入柏林大学跟随狄利克雷学习数学，19岁(1851年)时就获得博士学位。1864年起任波恩大学教授。先后当选为巴黎、柏林、格丁根、罗马等科学院的通讯院士。李普希茨在数论、贝塞尔函数论、傅立叶级数、常微分方程、分析力学、位势理论及微分几何学等方面都有贡献。1873年，提出了著名的“李普希茨条件”，对柯西提出的微分方程初值问题解的存在唯一性定理作出改进，得到柯西—李普希茨存在性定理。他的专著《分析基础》(1877—1880)从有理整数论到函数理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进相应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李普希茨代数”的超复数系。在微分几何方面，他自1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作作出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工作后来被里奇有效地用于张量分析。

李普希茨是德国数学家、物理学家。主要研究数学分析、数论、微分方程、多维几何、力学和物理。1859年，他发表了关于借助线积分给出贝塞尔函数的渐近展开式的严格研究。1864年，在研究傅立叶级数收敛性时，给出了以他的姓命名的充分条件。1876年，他改进了柯西关于常微分方程存在定理的条件。现在这一条件就被称为李普希茨条件。他对n维空间的子空间给出了一些新的结果。他还是微分不变量研究的创始人之一，在其工作中已出现了共变微分这种运算。

R.(O.S.)李普希茨(1832-1903年)的数学研究涉及数论、贝塞尔函数论、傅里叶级数论、常微分方程、分析力学、位势理论及黎曼微分几何，其中在微分方程和微分几何方面尤为突出。1873年他对A.-L.柯西提出的微分方程初值问题解的存在惟一性定理作出改进，提出著名的“李普希茨条件”。存在性定理的证明有力地推进了对微分方程定性理论以及解的近似计算的研究。

李普希茨被认为是(G.F.)B.黎曼事业的继承者之一。黎曼于1854年系统地阐述了高维流形微分几何的主要内容，并于1868年发表了研究n维流形的度量结构的文章。1869年起李普希茨对黎曼的思想作出进一步阐述和推广，其中对n维黎曼流形的子流形性质以及对微分不变量的研究，取得了开创性的成果。他还是最早使用共变微分研究微分不变量的人，这个概念后来被G.里奇有效地用于张亮分析。

李普希茨条件(Lipschitz condition)亦称赫尔德条件，是限制函数增量变化大小的一种不等式形式的条件。若 是区间 上的函数，存在正的常数L和 ，使得只要 ，就有

则函数 称为在区间 上满足α阶李普希茨条件，或称为I上的α阶李普希茨函数，记为f∈Lipα(I)或f∈Λα(I)。对任意 ，α阶李普希茨函数都是连续函数。特别地，属于Lip1的函数为绝对连续函数，因而除去一个勒贝格零测度集之外处处可微。一阶李普希茨条件是李普希茨(Lipschitz，R.(O.S.))于1864年研究傅里叶级数的收敛判别法时引进的.不少作者把一阶李普希茨条件称为李普希茨条件。1876年，他把它用于微分方程有惟一解问题的讨论。的α阶李普希茨条件其实是赫尔德引进的，所以又称为α阶赫尔德条件。

1．设 为一函数，k为一正常数，若对于点 之邻域中的所有点x，都有

则称 在点满足李普希茨条件。

2．设 为定义在 上的函数，k为一正常数， 若对于中任意两点，都有

则称在区间上满足李普希茨条件。

若函数在上满足李普希茨条件，则该函数在上必为绝对连续函数。换言之，绝对连续为李普希茨条件之必要条件，而李普希茨条件为绝对连续之充分条件。

若函数在上之任一点均有连续导数， 则该函数在上必满足李普希茨条件。换言之， 有连续导数是李普希茨条件之充分条件，而满足李普希茨条件是有连续导数之必要条件。

3．设为一函数，k为一正常数，若对于点邻域中之所有点x，都有

则称在点满足p次李普希茨条件。

4．设为定义在上的函数，k为一正常数， 若对于上之任意两点，都有

则称该函数在上满足p次李普希茨条件。

显然，1，2分别是3，4当p=1时之特例。