设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a>0，则不等式成立。这叫做切比雪夫定理，或者切比雪夫不等式。

19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：

任意一个数据集中，位于其平均数±m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：

所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。

所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。

所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件 概率作出估计。

设随机变量X具有数学期望 ，方差 则对任意正数ε，不等式 或 成立。

注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。

若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“ ”的概率接近于0，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为 。

设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)0，有

特别地：X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，则对任意给定的ε>0，有

即

切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即

上式表明，n足够大时，把n次测量结果的算术平均值作为a的近似值，所产生的误差是很小的。