切割线定理_数学定理 - 威林百科weilinceramic.com

切割线定理

数学定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

基本介绍

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆相交的直线是圆的割线。切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理，在解题中经常用到。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理的证明

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB。

证明：连接AT， BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)；

∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)；

∴PB：PT=PT：AP；

即：PT2=PB·PA。

例题解析

【例1】求证：两个相交圆的公共弦的延长线上任何一点到两圆的切线等长（如图2）。

已知：P为两圆公共弦BA的延长线上任意一点，和分别为以点P到和所引的切线，为切点，求证：。

证明：PAB和分别为从P点到所引的割线和切线，根据圆幂定理，可知：同理可证所以。

【例2】如图3，AB为的直径，AC为的切线，A为切点，割线CDF交AB于E。若。求的直径AB长。

解：由切割线定理得：，设，则

所以：

在中，由勾股定理得：，

则

所以。

参考资料

最新修订时间：2023-06-29 16:18

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切割线定理的证明

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