分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想的初高中教学衔接

1.定位

●三大基本思想之一；

●可以用纸笔方式直接测试；

●大规模考试必测的内容.

2.分类思想解题的思维过程分析

在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：第一，要明确是否需要分类讨论；第二，确定分类的对象；第三，确定分类的标准；第四，逐类逐级分类讨论；第五，综合、归纳结论.

第一 明确是否需要分类讨论

运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因.即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决.大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系.因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般地说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题.

●涉及到分类定义的概念.

有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法.

例1：等腰三角形的周长为16，其中一条边的长为6，求另两条边的长.

有些概念在下定义时，对所考虑的对象的范围进行了限制，如分式、一元二次方程的概念等，当解题过程中需要突破这些限制时，就必须考虑使用分类讨论的方法.

例2：解关于x的方程（a－1）x－2ax+a=0

● 直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则.

《数学课程标准》的要求，直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的有：

有理数的大小比较法则；有理数的加法、乘法、除法、乘方法则；有理数乘法运算律之际的符号与因数的符号的关系；添括号、去括号法则；方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正（负）数，不等号的方向不（改）变；一元二次方程的求根公式；一元二次方程根的判别式；直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较）；两圆的位置关系（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较）；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质等.

当我们应用一元二次方程根的判别式，直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较），两圆的位置关系（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较），这些性质解题时，可以考虑使用分类讨论的方法.

当我们应用其他受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题时需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制时可以考虑使用分类讨论的方法.

例3：函数y=kx+3 (－1≤x≤1,且k≠0)的图象上的点都在x轴的上方,则k的取值范围是 .

●进行某些有限制的运算.

在解题时，遇到除法、开偶次方、含有绝对值符号等运算时，应该考虑使用分类讨论的方法.

●在计算、推理过程中，遇到数量大小不确定.

在计算、推理过程中，往往会遇到同一个已知条件具有不同的取值（在取值范围内），且由于取值的不同，导致了不同的结果的出现.遇到这种情况，可以考虑使用分类的方法解决问题.

在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯，既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。数学中的分类思想不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法，分类思想不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。

数学中的分类思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类，进行研究从而解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不象一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。

教学中可从以下这些方面，让学生在学习数学的过程中，通过类比、观察、分析、综合、讨论和概括，形成对分类思想的主动应用。

一 逐步，逐年级渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如七年级学习数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。 认识数?ㄊ??

可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类： 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二 渗透学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法一般有以下几种：

1、根据数学概念进行分类

例1 一个数的平方与它的绝对值相比较，你能够确定它们之间的大小关系吗？

分析：我们知道，对于范围在0到1之间的数，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它的平方是大于这个数本身的．由于题目中所给数的范围没有明确，因此我们无法确定这个数的平方与它的绝对值的大小，所以需要分情况进行讨论（可辅助数轴进行讨论）.

2、根据图形特征进行分类

例2△ABC中，AB=8，角B等于30°，AC=5，求BC

分析：本题根据三角形的特征，把△ABC分为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行分类讨论，从而求出BC的两个结果。

在初三证明圆周角定理时，由于圆心的位置有：在角的边上、角的内部，角的外部三种不同情况，因此我们可以引导学生先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易证明的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，然后利用先证明的这种情况来依次解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一个初中教材种比较典型的定理，从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法，为中招的压轴题考查分类讨论的思想和方法做好了铺垫。

三 引导学生分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本有不少定理、定义，公式，法则、习题都需要分类讨论，在进行这些内容时，应不断强化分类讨论的意识，让学生去认识到这些问题：只有通过分类讨论后，得到结论才可能是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误，遗漏。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。 一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题（近年来我省常在压轴题中考查此知识点）。

例4、某超市推出如下优惠??昳?方案{1}一次性购物不超过100元不享受优惠。{2}一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折{3}一次性购物超过300元一律8折。

王波两次购物分别付款80元，252元。如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )

A.288元 B.332元 C.288元或316元 D.332元或316元

解：第一次购物显然没有超过100，因为80/0.9=88.88，所以第一次实质购物价值为80

设第一次实质购物价值为X，那么依题意有：

1.不超过300.

X*0.9=252

解得 X=280

那么该付款

（X+80）*0.8=288

2. 超过300

X*0.8=252

X=315

那么该付款

(X+80)*0.8=316

由上面的几个例子，我们可以看出分类讨论方法往往能使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。而另一方面在课堂讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

实践证明，分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，对培养初中学生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到了十分关键的作用。在初中数学教学中我们要时刻渗透分类思想，引导学生多利用分类讨论方法解决问题。