分数阶微积分这一重要的数学分支，其诞生在1695年，几乎和经典微积分同时出现。那一年，德国数学家Leibniz 和法国数学家L'Hopital 通信，探讨当导数的阶变为1/2时，其意义是什么？当时Leibniz也不知道定义与意义，只是回复道：“”这会导致悖论，终有一天将会是一个很有用的结果”。分数阶微积分狭义上主要包括分数阶微分与分数阶积分，广义上同时包括分数阶差分与分数阶和商。由于近一些年分数阶微积分的理论成功应用到各大领域中，人们逐渐发现分数阶微积分能够刻画自然科学以及工程应用领域一些非经典现象。分数阶微积分比较热门领域包括：分数阶数值算法，分数阶同步等问题。

在这个上下文中，幂指数反复使用，和

中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题

作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，

对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂D组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

一个很自然的想法是问，是否存在一个算子起到半导数的作用，即使得：

结论是：这样的算子是存在的，对于任意,存在一个算子,满足：

或者换一个说法, 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函数将阶乘扩展到实数和复数域上.Γ函数的定义如下：

假设对函数在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

重复这个过程，可得：

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

这个动画展示了不同分数微分算子如何操作在y=x（蓝色），结果（绿色）在一般的积分（，紫色）及一般的一次微分（，红色）间连续变化。

假设有一个函数

。它的一阶导数一般是：

。重复这一过程，得到更一般的结果：

，将阶乘用伽玛函数替换，可得：

。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数的半导数：

。重复这一过程，得：

，这正是期望的结果：

。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，阶导数作用后，阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当）。

对于任意的,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量中的倒数可由对态密度的半阶微分求出

这里采用了自然单位制，即。