分拆是指将一个正整数表示成不大于其自身的一个或几个正整数的无序和，分拆数（partition number）则指不同的分拆方式的数目。分拆数源于分拆函数（partition function）。分拆函数也是表示两个事物之间的对应关系：输入给定的x便有对应的f(x) 输出。

命 n 为一个正整数。把 n 分成若干个不计次序的整数之和的一种方法称为 n 的一种分拆。例如 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1，所以 4 点不同分拆有 5 种。命 n 的不同分拆方法为 ，则称为分拆函数（partition function）。常约定，实际上，这是一种无限制的分拆。还可以对被加数加以限制。例如限定被加数不超过 r 。这种分拆函数记作。有。当时，称幂级数为分拆函数的母函数或生成函数（generating function）。

用初等数论的方法可以得出估计式。略用一点初等分析，即可的出估计式。再由陶伯型定理或复变函数论可得出的渐近式。最后，由模函数理论的这结果及解析数论方法，拉德马赫（H.Rademacher）得到了的展开式。这里是一个例子，以表明各种方法的深度。

分拆函数p（n）的值为：对于给定整数n，其拆分方式种类。例如：4的分拆方式有：1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2和4，所以p（4）=5。

分拆函数及其对应的分拆数可能看起来很直观，但几个世纪以来，理论学家们一直努力寻找这些数值的关联模式，以便预知、计算分拆数。或者建立分拆数与其他函数、定理之间的关系。但均以失败告终。

印度数学家拉玛努金（Srinivasa Ramanujan）通过研究发现，从p（4）开始，每第5个数值均可被5整除，他还证明了从p（5）开始每第7个拆分数可被7 整除，从p（6）开始，每第11个数可被11整除。该猜想即“拉玛努金同余式”。

由于拉玛努金没有记录自己的证明过程，后世无法知晓公式成立的原因及意义。

埃默里大学数论教授肯恩·小野（Ken Ono ）进一步研究发现，如果将分拆函数看作经过变形的模形式，就可以证明拉玛努金是对的。小野回忆“如果这个宇宙的星星是分拆数，有了它之后，当你再观测宇宙，你能看到宇宙中存在非常多的星系（即同余式）。”于是小野证明分拆同余式有无穷多个。

通过算子等理论工具，小野等人构造出了能够快速准确计算巨大分拆数的公式。