近乎处处_数学分析的一个分支 - 威林百科weilinceramic.com

近乎处处

数学分析的一个分支

在测度论（数学分析的一个分支）中，在某种意义上，如果集合的属性几乎包含了所有可能性，那么这个属性是近乎处处的。近乎处处的概念是测度零概念的同伴概念。在概率主体中，这主要是基于测度理论，并且这个概念几乎可以肯定地被认为。

简介

更具体地说，如果元素集合的属性没有不成立的就是测度零的集合（Halmos 1974）。在讨论实数集时，除非另有说明，否则将采用勒贝格度量。

这个术语近乎处处可以缩写为a.e。在较早的文献中被用来代替等效的法语预言片。

一个完整测度的集合的补码是测度零集。在概率理论中，这些术语几乎可以肯定地，几乎是确定的，几乎总是指概率为1的事件，它们是概率空间中完全度量的集合。

有时候，不用说一个属性近乎处处，而是说成这个属性几乎适用于所有元素（虽然这个术语几乎都有其他含义）。

定义

如果是测度空间，则如果μ（{x∈X：¬P(x)}）= 0，那么P就被说成是近乎处处的。表达同样事物的另一种常见方式是说，“几乎每个点都满足P”或“几乎每个x，P（x）成立”。

属性

（1）如果属性P近乎处处，并且隐含着属性Q，那么属性Q近乎处处。这取决于测度的单调性。

（2）如果是一个有限或可数的属性序列，每个属性近乎处处，则它们的连接也近乎处处。这取决于测度的可重复次数。

（3）相反，如果是不可数的属性族，每个都保持近乎处处，然后它们的连接不一定近乎处处。例如，当且仅当，如果是上的勒贝格度量并且是不等于x的属性是真的，那么每个近乎处处，但是不是近乎处处。

因为前两个属性，通常可以将测度空间的“几乎每个点”理解为似乎是普通点而不是抽象点。这通常在非正式的数学论证中隐含地完成。然而，我们必须小心这种推理模式：对无数家庭声明的普遍量化对于普通点是有效的，而不是“近乎每个点”。

举例

（1）如果f：R→R是勒贝格积分函数，f（x）≥0近乎处处：

如果f（x）= 0近乎处处，那么对于所有实数a

（2）如果f：[a，b]→R是单调函数，则f几乎在任何地方都是可微分的。

（3）如果f：R→R是勒贝格可测度的，并且

对于所有实数a

收敛到f（x），当降到零。集合E被称为勒贝格集合f。其补码可以证明具有测度为零。换句话说，勒贝格的意思是f近乎处处。

（4）有界函数f：[a，b]→R是黎曼可积分，当且仅当它近乎处处连续。

使用超滤子定义

在实际分析的背景之外，近乎处处的属性的概念有时被定义为超滤子。集X上的超滤子是X的子集的最大集合F，使得：

（1）如果U∈F和U⊆V，则V∈F；

（2）F中任意两个集合的交集在F中；

（3）空集合不在F中。

相对于超滤子F，如果P保持的点集合在F中，则X中的点的属性P几乎保持不变。

例如，超现实数字系统的一个结构将超现实数字定义为几乎等同于由超滤子定义的地方等同的序列。

在超滤子方面几乎无处不在的定义与措施的定义密切相关，因为每个超滤子定义了仅有0和1值的有限加法测量，其中当且仅当包含该值时，该集合具有度量1 在超滤子中。

参考资料

最新修订时间：2022-09-25 11:10

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