克莱因瓶，在数学领域中是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶在拓扑学中是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 提出。

“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fläche”是“克莱因平面”的意思。因为翻译问题写成了Flasche，这个词才是瓶子的意思。不过不要紧，“瓶子”这个词用起来也非常合适。

在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的，也就是说没有边的曲面。但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个环面。

克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。

我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维度再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。

如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180°翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。

三维空间里的克莱因瓶

克莱因瓶定义为正方形区域 [0,1]×[0,1] 模掉等价关系(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。类似于 Mobius Band, 克莱因瓶不可定向。但 Mobius 带可嵌入 ，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。

克莱因瓶的同调群:

把一条纸带的一段扭180°，再和另一端粘起来就得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有莫比乌斯带、一个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边）。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面－－克莱因瓶。

实际上，可以说克莱因瓶是一个3°的莫比乌斯带。我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个“二维克莱因瓶”，即莫比乌斯带（这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带）。再设想一下，在我们的3°空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨迹连同蛋壳投影在三度空间中，必然可以看到一个克莱因瓶。

过去，德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物－－克莱因瓶。这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进，但是，所谓的“克莱因瓶”却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出一个纸模型也不错。如果真的解决了这个问题，那可是个大收获！

因此，在过去，人们普遍认为克莱因瓶是不可能嵌入三维空间中的。在三维空间中，克莱因瓶必然跟自身相交，用数学的语言说，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入（immersion）。

菲利克斯·克莱因（Felix Christian Klein，1849年4月25日～1925年6月22日），德国数学家，生于德国杜塞多夫。他在埃尔朗根、慕尼黑和莱比锡当过教授，最后到了阿根廷，教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础对称群来分类的爱尔兰根纲领的发布影响深远：是当时很多数学的一个综合。 著作有《高观点下的初等数学》，他死于哥廷根。

1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。

1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。

在拓扑学、几何学上有很多贡献。他认识到群论的重要性，把群的概念广泛应用于很多数学分支。在1872年，发表了著名的《埃尔兰根纲领》。他提出了按照在变换群下保持不变的性质，来对几何学加以分类的观点，用群论统一了几何学。对近代几何学的发展有深远的影响，并为狭义相对论的创立准备了条件。1886年以后，长期在哥廷根大学任教，是哥廷根学派全盛时期的杰出代表。他关于数学统一性的观点，对希尔伯特有很大的影响。他还提出，数学应该与实际紧密联系。他组织了许多数学讨论班，通过教学活动使学生对数学的整体得到全面的认识。他在教定理时，只讲证明的梗概，而把证明留给学生自己去完成。他首先倡导改革中等教育的数学内容，对近代数学教育有重要的影响。