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伴随阵

数学概念

伴随阵，又称伴随矩阵（adjoint matrix）。设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的 n×n 的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义

设A=(aij)n×n是n阶方阵，由行列式|A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵

称为矩阵A的伴随矩阵。

注：伴随矩阵A*在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的代数余子式。

例如，的伴随矩阵是。

伴随矩阵的性质

由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很容易得到下面的性质：

其中，AT表示矩阵A的转置矩阵。由于矩阵kA的(i,j)元的代数余子式为：

因此，

由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：

其中En为n阶单位矩阵。

若n阶方阵A是非奇异的，即|A|≠0，此时矩阵A是可逆的。由（1）得

结合逆矩阵的定义，有其中A-1表示矩阵A的逆矩阵。

伴随矩阵的求法

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式；

非主对角元素，是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y)，x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的。

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y，所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

参考资料

最新修订时间：2023-12-23 16:18

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概述

定义

伴随矩阵的性质

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