当p=1时，L1a(D)的对偶空间是布洛克空间，L1a(D)的预对偶空间为小布洛克空间。伯格曼空间有多种形式的推广，关于这些空间上的各种算子的研究，得到不少深入的结果。
数学中，函数空间指的是从
集合X 到集合 Y 的给定种类的函数的集合。其叫做空间的原因是在很多应用中，它是
拓扑空间或
向量空间或这二者。经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。对一些类型的函数空间，现已取得相当丰富的理论成就。
经典分析学处理问题往往泛言或零散地看待所考虑的函数。虽有时取符合于某种规定的函数类X，但没有明确地把X当作几何的对象。现代分析学的一般方法在于视Ω为拓扑空间或测度空间又以问题的需要规定类中映射（即函数）：Ω→A满足的条件，诸如
连续性、
有界性、可测性、
可微性、可积性等；从几何学、拓扑学及
代数学的角度，对X一方面赋与关于加法与数量乘法的
封闭性，这里加法为：ƒ∈X，g∈X→ƒ+g∈X，(ƒ+g)(x)=ƒ(x)+g(x)，对x∈Ω；数量乘法为：ƒ∈X，λ∈A→λƒ∈X，(λƒ)(x)=λƒ(x)，对x∈Ω（即X对通常函数的线性运算封闭）；另一方面使之成为拓扑空间，且两方面又满足一定的要求（例如
线性运算关于拓扑是连续的等）。这样，函数空间X通常也是
拓扑线性空间。经典分析学研究中出现了许多重要的函数空间。对一些类型的函数空间，现已取得相当丰富的理论成就。
20世纪以来，当人们研究了许多具体的无限维空间及其上面相应的收敛性以后，自然而然地转向抽象形态的线性空间以及按范数收敛的概念。德国数学家希尔伯特、法国数学家弗雷歇和匈牙利数学家里斯在1904—1918年间所引入的函数空间是建立巴拿赫空间理论的基础。在这些空间里，强收敛、弱收敛、紧性、线性泛函、线性算子等基本概念已经得到初步研究。
1922—1923年，波兰数学家
巴拿赫、奥地利数学家哈恩和美国数学家N.维纳等分别独立地引入了
赋范线性空间的概念，并以巴拿赫的姓氏来命名。1922年，巴拿赫开始根据他所引入的公理来系统研究已有的函数空间，得到深刻的结果;同一年，哈恩从当时分析数学的许多成果中提炼出共鸣定理;1922—1923年巴拿赫得到压缩映射的
不动点定理、
开映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先后证明了完备赋范空间上泛函延拓定理，引入了赋范线性空间的对偶空间(当时称之为极空间)，这个定理的推广形式后来在局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年，巴拿赫写成《
线性算子理论》。至此，完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，并且在不到十年的时间内便发展成本身相当完整而又有多方面应用的理论。
美籍数学家。生于波兰的琴斯托霍瓦。1933年在
德国柏林大学获数学博士学位。1931—1933年在柏林大学任不支薪讲师；1934—1937年先后在苏联托木斯克及第比利斯大学任教授；1939—1940年在美国马萨诸塞理工学院任讲师；1940—1941年任耶西华学院讲师；1941—1945年任
布朗大学讲师；1945—1951年任哈佛大学讲师;1951—1952年回马萨诸塞理工学院任讲师；1952—1974年在
斯坦福大学任教授，1974年退休任荣誉教授。美国数学会、工业与应用数学会、
美国艺术与科学学院院士。专业兴趣：纯粹数学与应用数学，包括
多复变函数、偏微分方程、流体力学等。1922年与博赫纳(S.Bochner)一起提出了核函数的概念，它是研究多
复变函数的有效工具。1949年研究偏微分方程，获得一些解的积分表达式。著作有《核函数与正则映射》(The Kernel Function and Conformal Mapping， 1950;中译本，科学出版社，1958)，与M·希费尔合著的《数学物理中的核函数与椭圆微分》(Kernel Functionand Elliptic Differential in Mathematical Physics， 1953)等。