伯格曼度量(Bergman metric)由
伯格曼核函数诱导的
克勒度量。伯格曼核函数和伯格曼度量是研究有界域的几何性质及函数论性质的基本工具之一。
克勒度量是特殊的
埃尔米特度量。设M是具有殆复结构J的殆复流形，g为M上的埃尔米特度量，Φ是相应的克勒形式，若Φ是闭的，即dΦ=0，则称g为克勒度量。给定克勒度量的复流形，就称为克勒流形。
埃尔米特度量是殆复流形上的一种度量。设M是殆复流形，具有殆复结构J。若M上黎曼度量g满足g(JX，JY)=g(X，Y)，这里X，Y是M上任意向量场，则g称为M上的埃尔米特度量。
则称ρ(x，y)为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为(R，ρ)。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x，y)=0时，记x～y.～是R上的一个等价关系，记商集(即等价类全体)为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，则ρ～是D上的距离，而(D，ρ～)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。
度量空间(R，ρ)中的子集A称为有界的，如果对x0∈R，存在常数M，使ρ(x0，x)≤M对A中的一切x成立。设x0∈R，r>0，则称集合{x|x∈R，ρ(x，x0)
度量空间是
弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年引进的，它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间，也是泛函分析的基础之一。
希尔伯特空间
希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是
泛函分析的重要组成部分。
设H是一个实的线性空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：
①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个内积，而H称为内积空间。
如果定义‖x‖=，则在‖0‖下，H构成一个
线性赋范空间。
完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间的概念还可以推广到复线性空间上。
欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例，希尔伯特空间的另一个最重要的特例是L(G)，设G是n维欧几里德空间中的一个有界闭域， 定义在G上的满足⨜G|f(x)|dx<+∞的勒具格可测函数全体记为L(G)，在L2(G)中引入内积(f，g)=⨜Gf (x)g(x)dx，则L(G) 是一个希尔伯特空间，L(G)是实用中最重要和最常用的希尔伯特空间。
希尔伯特空间有许多与欧几里德空间相似的性质，例如，在希尔伯特空间中，可以定义向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一许瓦兹不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希尔伯特空间中，存在着完全的标准正交系，希尔伯特空间中的任一向量可以依任一完全的标准正交系分解。
在泛函分析中，详细地研究了希尔伯特空间自共轭算子的理论，特别是自共轭算子的谱理论，这一理论在经典数学的不少领域中有广泛的应用。需要特别指出的是，自共轭算子的谱理论，为量子力学的发展，提供了适合的工具。
理论数学、应用数学和物理中的许多问题，在希尔伯特空间中，可得到较好的处理，因此，希尔伯特空间成为泛函分析中最重要的和最常用的一类空间，它在许多其他数学分支、理论物理和现代工程技术理论中，也得到了广泛的应用。
人物简介
伯格曼是美籍数学家。生于波兰的
琴斯托霍瓦。1933年在德国
柏林大学获数学博士学位。1931—1933年在柏林大学任不支薪讲师；1934—1937年先后在苏联托木斯克及第比利斯大学任教授；1939—1940年在美国马萨诸塞理工学院任讲师；1940—1941年任耶西华学院讲师；1941—1945年任布朗大学讲师；1945—1951年任哈佛大学讲师；1951—1952年回马萨诸塞理工学院任讲师；1952—1974年在斯坦福大学任教授，1974年退休任荣誉教授。美国数学会、工业与应用数学会、美国艺术与科学学院院士。专业兴趣：纯粹数学与应用数学，包括多复变函数、偏微分方程、流体力学等。1922年与博赫纳(S.Bochner)一起提出了核函数的概念，它是研究多复变函数的有效工具。1949年研究偏微分方程，获得一些解的积分表达式。著作有《核函数与正则映射》(The Kernel Function and Conformal Mapping， 1950；中译本，科学出版社，1958)，与M·希费尔合著的《数学物理中的核函数与椭圆微分》(Kernel Functionand Elliptic Differential in Mathematical Physics， 1953)等。