代数簇，是代数几何里最基本的研究对象。代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 术语簇（variety）取自拉丁语族中词源（cognate of word）的概念，有基于“同源”而“变形”之意。

代数簇是代数几何里最基本的研究对象。 通俗的讲代数簇就是有若干多元多项式方程定义的公共零点集。如果代数簇恰好可以用一个方程定义，就称为超曲面。

最简单的代数簇，就是：

d次平面代数曲线： 由方程 f(x,y,z)=0定义， 此处f(x,y,z)是齐次的三元d次多项式。

d=1,2 的曲线同构与射影直线；

d=3 就是椭圆曲线,其标准定义方程为:z*y^2=x*(x-z)*(x-λ*z),此处λ是参数。

d=4就是亏格3曲线。

更一般的，我们有光滑曲线的亏格公式：g=(d-1)(d-2)/2，此处g是曲线亏格。

代数几何是研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的。代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域。V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域。

代数几何的基本问题就是代数簇的分类。包括双有理分类与双正则分类(即同构分类).若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射。设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的。这等价于V1和V2的函数域之间的同构。按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类。

分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类；其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类；第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远。因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量。例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化。目前，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。

20世纪初期，由于抽象代数方法的引入，抽象域上的代数几何理论建立起来了。特别是在20世纪50年代，塞尔(Serre，J.P.)把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为格罗腾迪克(Grothendieck，A.)随后建立概形理论奠定了基础。概形理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概形的概念是代数簇的推广。粗浅地，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中有幂零元。概形理论把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。

20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同调理论，霍奇(Hodge，W.V.D.)的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞(Spencer，D.C.)的变形理论以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。永田定理断言：对任意的代数簇X，必存在一个完备簇，使得X→是开浸入.代数簇的概念最早是在20世纪20年代由范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)和诺特(Noether，E.)等提出的，以后又经过韦伊(Weil，A.)、塞尔(Serre，J.P.)等人的发展，直至格罗腾迪克(Grothendieck，A.)把它纳入概形体系，才得到上述的现代定义。

设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集 覆盖，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。

若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E*={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E*上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E*/～的元素称为有理映射，若Y=SpecR[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇，则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。

设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。

环论是抽象代数学的主要分支之一。它是具有两个运算的代数系。在非空集合R中定义加法“+”和乘法“·”运算，使得R中任意元a，b，c适合条件：

1.R对加法为交换群，称为R的加法群，记为(R，+);

2.R对乘法适合结合律，即(R，·)是半群，称为R的乘法半群;

3.乘法对加法的左、右分配律成立，即：

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

则称R为结合环，简称环(通常a·b写为ab).它是环论研究的主要对象.环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密顿(Hamilton，W.R.)等人对超复数系的建立和研究.韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)于1907年给出的结构定理给出代数研究的模式，也成为环结构研究的模式.20世纪20-30年代，诺特(Noether，E.)建立了环的理想理论，阿廷(Artin，E.)又将代数结构定理推广到有极小条件的环.同时，对非极小条件的环，冯·诺伊曼(von Nenmann，H.)建立了正则环理论，相继盖尔范德(Гельфанд，И.М.)创立了赋值环，克鲁尔(Krull，W.)建立了局部环理论，以及哥尔迪(Goldie，A.W.)完善了极大条件环理论.

20世纪40年代，根论迅速发展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的被称为雅各布森根的概念后，建立了本原环理论、半本原环的结构定理与本原环的稠密性定理，完善和深化了不带附加条件环的理论.20世纪50年代中期，阿密苏(Amitsur，S.A.)、库洛什(Kurosh，A.)创立了根的一般理论，环论已趋完善.另一方面，由群表示研究的影响，产生模、群环与分次环的理论.20世纪20年代初，诺特引入了模的概念，并研究模对有限群表示的作用与环结构之间的关系，用模的语言去刻画环，特别是20世纪50年代以后，同调代数的迅速发展，使环的理论进入更高层次虽然。

早在1854年，凯莱(Cayley，A.)就引入了群代数，然而，它的研究是从20世纪30年代开始直到60—70年代，受群表示论与环的理论的推动才蓬勃发展起来的.20世纪70年代后，由于分次代数的推动，群代数进入新的阶段——交叉积的研究.分次环与模发展的另一动力是交换代数几何中射影代数簇，20世纪70年代以来，由于非交换代数几何及群表示论的推动，环论已进入一个新的阶段。

若环R的乘法适合交换律，则称R为交换环.乘法半群的左(右)单位元，称为环R的左(右)单位元.乘法半群的单位元称为环R的单位元.(R，+)的零元称为环R的零元.在一个元构成的环中，零元是单位元，但两个以上的元构成的环中，零元一定不是单位元.环R的一个非空子集合S，若对R的加法、乘法也构成环，则称S是R的子环.S是R的子环当且仅当对任意a，b∈S恒有a-b∈S，ab∈S.

比结合环条件较弱的是非结合环，非结合环与代数受量子力学的刺激发展起来，但其研究的方法和思路基本上沿着结合环的格式，并早已趋完整.比结合环更弱的环类是拟环与半环，虽然早在20世纪40年代，就分别由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪维尔(Vandiver，H.S.)提出，但它们的发展是20世纪60年代以来，受自然科学和数学其他分支(如非线性同调代数、非线性几何、泛函分析、组合数学、动力系统和计算机科学)的推动而迅速成熟起来的，现已成为环论的独立分支.