代数体函数(algebroidal function)是亚纯函数或代数函数的推广。

代数体函数(algebroidal function)亚纯函数或代数函数的推广。

设M为亚纯函数域，M[x]表示系数为M的多项式环，则代数体函数域A是M[x]的代数闭包，即任一个w∈A，存在F∈M[x]，使得：

其中Sj(j=0，1，2，…，ν)∈M，或者经通分后w满足下述不可约方程：

其中Aj(z)(j=0，1，…，ν)是z的整函数(通常考虑Aj(z)中至少有一个为超越函数的情形)。特别地，当ν=1时，w(z)为亚纯函数；当Aj(z)(j=0，1，…，ν)都为多项式时，w(z)为代数函数。

代数体函数首先由庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)所引入，其后班勒卫(Painlevé，P.)、布特鲁(Boutroux，P.L.)和马尔姆奎斯特(Malmquist，J.)等人研究常微分方程时遇到此类函数。如同亚纯函数一样，代数体函数的主要研究内容之一是它的值分布理论。最早由雷蒙多斯(Rémoundos，G.)(1927)推广了皮卡定理，他证明了ν值代数体函数至多有2ν个皮卡例外值，并指出存在具有2ν个皮卡例外值的代数体函数。其后瓦利隆(Valiron，G.)(1929)、乌利希(Ullricn，E.)(1931)和塞尔贝格(Selberg，A.)(1930-1934)分别用不同的方法对代数体函数建立了相当于亚纯函数奈望林纳理论的基本定理，即代数体函数的第一基本定理和第二基本定理。根据第二基本定理可以得到代数体函数的亏量关系以及重值和惟一性定理等重要结果。1933年，嘉当(Cartan，H.)讨论了p(≥2)个全纯函数的线性组合a1g1(z)+a2g2(z)+…+apgp(z)的零点分布问题。特别地，当取aj=a(j=1，2，…，p=ν+1)时，则相当于考虑ν值代数体函数的值分布。因此嘉当的讨论能导出代数体函数的基本结果。

亚纯函数是一类特殊的解析函数。指在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数。如有理函数，tan z等。

除极点外为全纯的函数为亚纯函数，它是复变函数论研究的主要对象之一。

德国数学家外尔斯特拉斯、瑞典数学家米塔-列夫勒、法国数学家柯西等都是亚纯函数理论的奠基人。1876年，外尔斯特拉斯证明了一个亚纯函数可以表示为两个整函数的商。第二年，瑞典数学家米塔-列夫勒推广了外尔斯特拉斯的结果，证明在任意一个区域上的亚纯函数皆可表示为两个函数的商，其中每一个都在该区域内解析。法国数学家柯西也曾给出一种分解方法，对相当广的一类亚纯函数得到简单的表示式。

近代亚纯函数理论是20世纪20年代由芬兰数学家奈望林纳所创立。他在1925年发表了亚纯函数的一个一般性理论，这个理论中有两个基本定理分别被称为第一基本定理和第二基本定理，从它们可以推出一系列关于亚纯函数的值分布的结果，丰富并推进了前人的工作，产生了深远影响。

亚纯函数的术语是由法国数学家布里奥和布凯共同引进的。

代数函数是一类完全解析函数。指由不可约方程：

确定的多值函数，其中aj(z)(j=0，1，…，n)是z的多项式。从这个w的代数方程可知对每一个z值确定多个w值，因此w=w(z)是一多值函数。代数函数是在扩充的复平面C^上仅具有有限多个代数支点和极点的完全解析函数；反之，具有上述特征的完全解析函数，必满足一不可约代数方程，且除去一个非零常数因子外此方程是惟一的.相应于代数函数的黎曼曲面是紧致的，即闭曲面。此曲面的亏格即定义为代数函数的亏格。由方程(1)联系着的z和w的有理函数R(z，w)之积分：

称为阿贝尔积分，其中w(z)的值是由z0点选定的分支沿积分路径解析开拓而得。它是一多值函数，其多值性不仅产生于R(z，w)的残数，w(z)的多值性，而且还依赖于w(z)相应的黎曼曲面的拓扑性质。对于这个积分人们常寻找一系列标准形式，使得任一这类型的积分能通过适当的变数变换变为其中一个标准形式。

关于阿贝尔积分的研究导致代数函数的单值化问题，代数函数单值化又引起一般单值化理论的发展.在这方面，从19世纪下半期到20世纪的最初十年，世界上许多著名数学家如黎曼(Riemann，G.F.B.)、克莱因(Klein，(C.)F.)、庞加莱(Poincaré，J.-H.)、施瓦兹(Schwarz，H.A.)、诺伊曼(Neumann，C.G.)和克贝(Koebe，P.)等人都做出了重要贡献。

法国著名数学家、天文学家、物理学家和科学哲学家，1875年毕业于巴黎多科工艺学校，1879年以关于微分方程一般解的论文获得博士学位，同年到卡昂大学任教，1881年入巴黎大学任教授，直到去世.他一生写下了将近500篇科学论文和30部专著，这还不包括颇受欢迎的科学哲学著作和趣味盎然的科普著作。他的贡献几乎遍及了当时数学和物理学的全部领域。

庞加莱对数学的第一个重大贡献是在1880年以后创立了自守函数理论，解决了解析函数的单值化问题。

1884年法国《数学学报》连续发表了他关于这一课题的5篇论文，立即使他获得了世界性的声誉.他又是多复变解析函数论的创始人，并在1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，成为整函数与亚纯函数理论的开端。他最杰出的贡献是创立了微分方程定性理论，他于1880—1886年发表的四篇大论文，使这一分支在一开始就发展到了几乎完善的地步.1885年以后.他关于微分方程的论文都涉及天体力学，特别是三体问题，首创天体力学的严格处理方法，并因对三体问题的研究于1889年第一个获得瑞典国王奥斯卡二世为“n体问题”设立的奖金.为了进一步研究线性微分方程，他对发散级数进行了深入讨论，开创了渐近展开理论。在代数学中，他第一次引入了左理想与右理想的概念。1901年他的一篇数论论文成为有理数域(或代数数域)上的代数几何学的开端.1901—1911年他关于代数曲面F(x，y，z)=0中所含的代数曲线的几篇论文对代数几何作出了突出贡献.对代数拓扑学，他创造了单形的同调论的一整套方法，并由此引发了一系列重要结果.他又是数学基础的直觉主义学派的先驱之一.此外，他对相对论和量子理论做出了具有启发性的贡献.他的科学哲学思想对20世纪众多的科学家和哲学家产生了深远的影响.他被誉为“理性科学的活跃智囊”，“本世纪初唯一留下的全才”，是对数学和它的应用具有全面知识的一个人。

法国数学家、政治家.生于巴黎，卒于巴黎.早年在巴黎大学和格丁根大学学习，1887年获博士学位.先后任教于巴黎理学院、巴黎综合工科学校、法兰西学院和巴黎高等师范学校.1900年当选为法国科学院院士.他曾获得多项数学奖.

班勒卫的主要贡献在代数曲线和代数曲面理论、微分方程的奇点理论等方面.他研究了代数曲线和代数曲面的有理变换问题，引入了双一致变换.他成功地研究了代数微分方程的奇点理论，由形如y″=f(x，y，y′)的二阶方程的解引出的新的超越函数，被称为班勒卫超越函数.他还将其数学成果应用于分析力学，推广了关于n体问题的结果，并修正了某些错误结论.

班勒卫对新兴的航空技术颇感兴趣，他是1908年双翼飞机创纪录飞行的一个乘客.他还热心于政治活动，1910年被选为国民议会议员，其后还任公共教育部长、议长，1917年、1925年两次当选为法国总理。

法国数学家、历史学家、科学哲学家。生于巴黎。父亲是有名的哲学家。布特鲁学于巴黎高等师范学校。1908—1920 年任普瓦蒂埃(Poitiers)大学积分学教授。先后在南锡(Nancy)大学、法兰西学院和美国普林斯顿(Princeton)等大学任教。一次大战中投入法国军队，1920年回到法兰西学院，成为这里的第一位科学史教授。布特鲁在纯数学方面的主要成就是关于多值函数和微分方程奇点问题的研究，在历史学和科学哲学方面也做了许多开创性的工作。

法国数学家。生于法国南锡，1923年入巴黎高等师范学校学习，1926年大学毕业，1928年获博士学位.1929—1931年，任里尔大学讲师;1931—1940年，任斯特拉斯堡大学教授;1940—1969年，任巴黎大学教授;1969—1975年，任南巴黎大学教授.1967—1970年，任国际数学联盟主席.1965年，被选为法国科学院通讯院士，1974年成为院士.1971年，被选为伦敦皇家学会外籍会员，1972年，被选为美国全国科学院外籍院士。此外，他还是日本、波兰、马德里及北欧国家等近10家科学院、皇家科学院的院士或荣誉院士。

嘉当是法国布尔巴基学派的创始人之一。在复变函数、代数拓扑、位势理论及同调代数等方面都做出了重要贡献.他在复变函数论从单变量向多变量发展的过程中起了重要作用.他在20世纪30年代给出了全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质.1932年，他还证明了全纯域与全纯凸域的等价性的嘉当-苏伦定理。他在1944年关于解析函数的理想的研究中得到的成果，同日本冈洁关于具有不定域的理想的研究，发展成了解析凝聚层理论.20世纪50年代初，他和塞尔(Serre，J.P.)在对施泰因流形的研究中引入了层系数的上同调理论，给出了多复变函数论中的嘉当定理，即施泰因流形上的凝聚解析层上的定理A和B.在第二次世界大战后的15年内，他领导的著名的嘉当讨论班，对代数拓扑的发展起了重要的促进作用。在讨论班上引入的新方法，形成了同调代数的基础.1954年，他和塞尔曾在上同调运算方面取得了重要成果.此外，他还引入了“滤子”等概念.他是法国第三级荣誉勋位的获得者。1980年还获沃尔夫数学奖.著作有《同调代数》(1956;与艾伦伯格(Eilenberg，S.)合著)等。他的主要论著均收入了三卷本的《嘉当文集》(1979)中。