二阶算术(second order arithmetics)是递归论研究的内容之一。是刻画自然数理论的二阶形式理论。所使用的语言是二阶算术语言L2。它是在一阶算术语言L的基础上，增加二阶变元(即取值于函数或谓词的变量)及相应的量词而得。

二阶算术(second order arithmetics)是递归论研究的内容之一。是刻画自然数理论的二阶形式理论。所使用的语言是二阶算术语言L2。它是在一阶算术语言L的基础上，增加二阶变元(即取值于函数或谓词的变量)及相应的量词而得。这种二阶语言在自然数结构N上也有其自然的解释。在这种解释之下为真的L2语句组成一个理论Ω2，即Ω2={φ|N⊨φ为L2语句}。Ω2称为二阶算术理论，简称二阶算术。类似地，其他高阶算术也可仿此定义。

一阶算术是递归论研究的内容之一。是刻画初等数论的一阶形式理论。表述这种理论的语言为一阶算术语言L。它除了含有通常一阶语言的内容外，还含有等词=，个体常元0(零)，一元常函数S(后继)及两个二元常函词+(加)和×(乘)。设N为通常的自然数结构，则L可以在N中得到自然的解释。在这个解释之下为真的全体一阶算术语句(即L语句)构成一个理论Ω，即Ω={φ|N⊨φ & φ为L语句)}，此理论Ω称为一阶算术理论，简称一阶算术.一阶算术Ω由直观上为真的全体一阶算术语句所组成，因此，它是一个协调的、完备的理论(这与佩亚诺算术PA大不一样).但是，Ω是不可公理化的，即无法从Ω中挑选出一个递归可枚举的语句集合作为公理，从而把Ω中的其他语句全部推出来。因而也不存在一个能行的过程，把Ω的全体语句能行地列举出来。

数理逻辑的一个分支，是一门研究递归函数及其推广的科学。递归函数是一种数论函数，其定义域与值域都是自然数集。只是由于构作函数的方法不同而有别于其他数论函数。将定义域推广到不限于自然数集时，便是所谓广义的递归函数。

递归论这门学科最早可以追溯到原始递归式的使用。古代人以及现代的儿童对加法及乘法的理解，实质上就是使用原始递归式。但直到16世纪的毛罗利科，尤其是17世纪的帕斯卡才正式使用与递归式密切相关的数学归纳法。19世纪德国数学家戴德金和意大利数学家皮亚诺正式使用原始递归式来定义加法与乘法，从而发展了自然数理论。1923年，斯科朗提出并初步证明一切初等数论中的函数都可以由原始递归式作出，即都是原始递归函数。1931年，哥德尔在证明其著名的不完全性定理时，以原始递归式为主要工具把所有元数学的概念都算术化了。原始递归函数的重要性日益受到人们的重视，人们开始猜测，原始递归函数可能穷尽一切可计算的函数。但是，阿克曼提出了非原始递归的可计算函数，否定了这个猜测，同时也要求人们探讨原始递归函数以外的可计算函数。1934年，哥德尔在埃尔布朗的启示之下，提出了一般递归函数的定义。美国的克林于1936年证明了这样定义的一般递归函数与丘奇所定义的λ-可定义函数是相同的，并给出了几种相等价的定义。这样的一般递归函数后来被称为埃尔布朗一哥德尔一克林定义。1936年，丘奇、图灵各自独立地提出一个论点，即凡可计算的函数都是一般递归函数，把递归函数论与能行性理论密切地结合起来，从而使递归函数的应用范围大大地扩展了。关于递归函数本身的研究的进展则在于定义域的推广，从而得到递归字函数、α递归函数和递归泛函等等。

随着集合论的发展，递归论也向广义递归论发展。序数上递归论对有限概念的推广在无限语言中得到了重要应用。自然数上递归论已在许多方面得到应用。

随着计算机科学的发展，要求把古典数学能行化。以尼罗德为代表的递归论学家开拓了递归数学的研究领域。他们把古典数学的基本概念算法化，然后考虑哪些数学定理可以成立，哪些无法成立。递归论在计算机科学中的应用主要是用于计算复杂性理论。起初是把图灵机作为研究计算复杂性的模型，考虑计算的时间、空间复杂性。继而基于递归论，再加上适当的公理又建立了抽象计算复杂性理论。近年来，递归论的方法大量用于P与NP问题的研究。

数论的基础部分，常限于用初等数学的方法，而不借助于其他数学工具，去研究整数性质。它主要包括：整除理论、不定方程、同余式和连分数等。

早在公元前3世纪的古希腊时代，欧几里得(Euclid)所著《几何原本》一书中就记载了对素数无限性的证明、整数的因数分解、求两个正整数最大公因数的辗转相除法、关于完满数的一个著名定理等。此外，还有埃拉托斯特尼筛法，阿基米德(Archimedes)和丢番图(Diophantus)对不定方程的研究等。在数论发展史上，费马(Fermat，P.de)、高斯(Gauss，C.F.)和狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)等都做出了贡献。

中国古代在初等数论方面也有过光辉的成就，例如勾股定理、孙子定理(国外称为中国剩余定理)与圆周率的计算结果.数论也是中国近代发展得最早的数学分支之一，从20世纪30年代开始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过贡献。华罗庚在三角和估计与堆垒素数论方面的研究，陈景润对哥德巴赫猜想的研究，都走在数论研究的前沿。在初等数论中，常采用算术推导方法来论证数论命题。往往首先根据一些感性知识，提出某个数学猜想，然后予以证明。若这个猜想为真，即成为数论中的定理;若这个猜想不成立，即被否定。

数论中的猜想都是关于判断某个整数性质的命题，意义常常是浅显易懂的，但其证明却往往非常困难，需要高深的数学工具。例如，哥德巴赫猜想、费马猜想等，具有初中数学知识的读者，都能明白其意义，但是，这些问题却非常难解，几百年来，经过不少数学家的努力都尚未彻底解决。尽管如此，数学家们在这方面的努力不是徒劳的，他们在努力证明猜想的过程中，引入了许多新的数学思想，创造了许多新的方法和概念，发展成新的理论，从而推动了数论以至整个数学科学向前发展.例如，筛法已成为概率统计和组合论的重要方法；研究费马猜想引入的理想数概念已渗入到现代代数、几何和泛函分析等广大的数学领域。另一方面，其他各数学分支的研究成果也促进着数论的发展，法尔廷斯(Faltings，G.)利用代数几何的成就证明了莫德尔(Mordell，L.J.)提出的莫德尔猜想，从而使费马猜想的研究工作前进了一大步。1995年，怀尔斯(Wiles，A.)终于完满地证明了费马猜想。

初等数论是思维的体操，能锻炼人们的抽象思维能力和逻辑思维能力，随着科学技术的发展，在当今计算机时代和信息社会，在计算方法、密码学、组合数学、通信工程、离散控制系统等许多领域都有广泛的应用。所以，初等数论不仅是数学工作者，而且也是许多从事应用和实际工作的工程技术人员所不可缺少的数学知识。