中间平行线(middle line between two parallel lines)是一条直线，在轨迹问题中是一种基本轨迹，其含义是和两条平行线间的距离相等的点的轨迹，也就是和这两条平行线距离相等的一条平行线。

中间平行线即平行线中间的平行线，是和两条平行线间的距离相等的点的轨迹，和这两条平行线距离相等的一条平行线。

中间平行线具有性质：

1.中间平行线上的点到两平行线的距离相等。

2.在同一平面内，凡到两条平行线距离相等的点必在中间平行线上，即到两条平行线的距离相等的点的轨迹是中间平行线。

中间平行线即平行线中间的平行线，是一种基本轨迹，即和两条已知平行线距离相等的点的轨迹，是在两条平行线中间而和它们距离相等的一条平行线。

这个基本轨迹应用范围是：①求距离两已知平行线等远的点，②求相切于两条已知平行线的圆的圆心。

中间平行线轨迹的证明：

已知 EF// AB// CD，EF和AB之间的距离等于EF和CD之间的距离(图1)。

求证 和AB、CD距离相等的点的轨迹是EF。

证明：

(1)纯粹性

设P是EF上的任何一点。经过P点作垂直于AB的直线，分别交AB、CD于L、M，那么这条直线也和CD垂直。

∵EF和AB之间的距离等于EF和CD之间的距离，

∴ PL= PM。

这就是说，EF上的任何一点和AB、CD的距离都相等。

(2)完备性

设P'是不在EF上的任何一点。

经过P'作垂直于AB的直线，分别交AB、CD、EF于L'、M'、N',那么这条直线也和CD垂直。

∵P'不在EF上，

∴P'不和N'重合。

∵ 直线L'M'上和L'、M'距离相等的点只有线段L'M'的中点N'，

∴ P'L'≠P'M'。

这就是说，不在EF上的任何一点和AB、CD的距离都不相等。

由(1)和(2)得，EF是和AB、CD距离相等的点的轨迹。

【例1】求作一圆，使它切于二已知平行线，且切于这二线间的一已知圆。

已知:二直线及间的⊙O。

求作:⊙O'使它和及⊙O都相切。

分析

因为所求作的⊙O要与二平行线都相切，故其圆心的轨迹是与等距高的一条平行线，其半径R=d/2(d为与的距离)。

设⊙O的半径为r，若⊙O'与⊙O相外切，则OO'= R十r，故O'的轨迹是以O内圆心，以R+r内半径的大⊙O，大⊙O与的交点O'即内所求作的圆的圆心(有两个解)，若⊙O'与OO相内切，则OO'=R-r(R>r)，故O'的轨迹是以O为圆心，以R-r内半径的小⊙O，小⊙O与的交点O''即内所求作的圆的圆心(也有两个解)如图2所示。