给定
巴拿赫代数R和
巴拿赫空间X，如果对于x∈R有X上的
有界线性算子Tx与之对应，使x→Tx是代数同态，且满足||Tx||≤||x||，这样的对应就称为R的一个表示，X称为表示空间。
设Y是表示空间X的子空间（可以闭也可以不闭），若对一切x∈R，有TxY⊂Y，则称Y为X的
不变子空间。若除X和{0}外不存在其他不变子空间，则称此表示为巴拿赫代数的不可约表示。
如果任何维数大于1的表示的所有
矩阵都可以用相同的
相似变换转换为相同的块对角矩阵结构，则称此为可约表示，反之称为不可约表示。