不变多项式是环论中的一个概念。
定义
设
群G的
李代数为𝖌，P(𝖌)为
多项式代数，Ad:G→GL(𝖌)为G的
伴随表示，则P(𝖌)中
多项式p称为不变多项式，若满足
p(Adgv)=p(v)，v∈𝖌，p∈G 。
相关概念
𝖌上不变多项式的代数记为PG，是P(𝖌)的
子代数。
，其中为上复值对称r线性多项式代数。反之，将P(t1A1+...+trAr)展开为ti的多项式便得，故称为P的极化。
例子
给定
一般线性代数𝖌𝖑(n)中任一元A，定义i次多项式fi(A)为det(xI-A)=xn-f1(A)xn-1+...+(-1)nfn(A)，则fi(A)为𝖌𝖑(n)上的i次不变多项式。
令n=2k或2k+1，则𝖔(n)上不变多项式代数PO(n)由f2,f4,...,f2k生成。
令n=2k+1，则𝖔(n)上不变多项式代数PSO(n)由f2,f4,...,f2k生成。令n=2k，则𝖔(n)上不变多项式代数PSO(n)由f2,f4,...,f2k-2,Pf生成。
PO(n)⊂PSO(n)。
设A∈𝖚(n)，定义𝖚(n)上不变多项式f1,...,fn为det(xI-A)=xn-f1(A)xn-1+...+(-1)nfn(A)。令fij(A)=fj(iA)，则𝖚(n)上不变多项式代数PU(n)由fi1,fi2,...,fin生成。