依据致密性定理，
有界数列必有收敛子列，收敛子列的
极限中的最大者与最小者特别重要，这就是
数列的上、下极限的
概念。
定义和例子
有界数列 ，令
则 递增， 递减，且 。记
分别称为数列 的下极限和上极限，记作
注
如果数列 无上界，则记 ；如果数列 无下界，则记 。这样对任何数列取上极限和下极限都是有意义的。
例1
上、下极限的性质
定理1
对任何有界数列 有
定理2
的充要条件是
定理3
设 为有界数列
（1） 为 上极限的充要条件是：任给 ，
（i）存在 ，使得当 时有 ；
（ii）存在子列 ，
（2） 为 下极限的充要条件是：任给 ，
（i）存在 ，使得当 时有 ；
（ii）存在子列 ，
定理4
设 为有界数列，
（1） 为 上极限的充要条件是：对任何 ， 中大于 的项至多有限个；对任何 ， 中大于 的项有无限多个。
（1） 为 下极限的充要条件是：对任何 ， 中小于 的项至多有限个；对任何 ， 中小于 的项有无限多个。
定理5（上、下极限的保不等式性）
设有界数列 满足：存在 ，当 时有 ，则
特别地，若 为常数，又存在 ，当 时有 ，则
定理6
设 为有界数列，
（1） 为 上极限的充要条件是
（2） 为 下极限的充要条件是
例2
设 为有界数列，证明
证 设由定理3，对任给的，存在，当时有
再利用上极限的保不等式性（定理5）得
故由的任意性得，即可证明结论成立。