上积是代数拓扑的一个概念。
简介
上积是定义在
拓扑空间奇异
上链复形及
奇异上同调群中的一种乘法。
上链复形的上积
设 X 是一个拓扑空间，奇异上链复形的上积
是一个双线性运算。对于奇异上链 和 ，它们的上积记为 ，其定义由它在奇异链的取值给出：对于任一 维奇异链 ，规定
上同调的上积
定义
奇异上链复形的上积诱导了拓扑空间X各维数
奇异上同调之间的一个乘法
⋃:Hp(X;R)⨂RHq(X;R)→Hp+q(X;R)，
称为上同调群的上积。
性质
在上积⋃下，H*(X;R)为分次交换含幺结合R代数。
上同调的上积不一定是交换的，对于 和 ，有关系式 。因此，上同调群的上积称为是斜交换的。
另外，上同调群的上积等于如下同态的复合：
相对上同调的上积
类似地，还有相对上同调的上积，其一般的形式为
对于一般系数群的拓扑空间奇异上链复形及
奇异上同调群，当系数群是一个
交换群时，亦可定义其上积。