蝴蝶效应（Butterfly effect）是一种混沌现象，说明了任何事物发展均存在定数与变数，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也存在不可测的“变数”，有时还会适得其反，一个微小的变化能影响事物的发展。问题的解对初始条件极端敏感（sensitive dependence of solutions on initial conditions）。也就是说，在一个动态系统中，初始条件的细微变化，会导致不同事件发展的顺序，有显著差异。常见延伸的看法是指初始条件的微小变化，可能带动整个系统长期且巨大的链式反应：“一只南美洲的蝴蝶扇动翅膀，结果可能引发美国德克萨斯州的一场龙卷风。”

1961年，爱德华·洛伦兹（Edward N.Lorenz）正在利用当时的计算机进行有关天气预报的一系列计算。由于当时计算机非常原始，计算速度很慢，为了节省时间，洛伦兹便在第一次计算结束后，改从程序中间开始执行第二次计算。然后他就下楼喝咖啡去了。

计算结果出来后，洛伦兹傻眼了：第二次计算产生的结果跟第一次完全不一样。第一次计算到中段的结果是0.506127，而计算机打印出来的结果只保留小数点后三位0.506，洛伦兹的第二次计算就是用的这个三位精度的数开始的。两次计算的中间值仅有万分之一的误差，没想到就是这万分之一的误差导致结果面目全非。经过缜密的演算推导之后，洛伦兹总结了他的发现，提出了著名的“混沌理论”。根据这一理论，完全精确的天气预报是不可能的，而较为精确的天气预报也是不可能无限久远的，超过十天的预报已基本不具有可信度。洛伦兹还发现了“洛伦兹吸引子”，或称为“奇怪吸引子”，这是在其对流预报模型中出现的一种情况，预报的结果虽然收敛，但是其时间序列并不是稳态的，而是在不断地移动中，具有非线性性和分形特征。

1963年，爱德华·洛伦兹（Edward N.Lorenz）正式向纽约科学院提交了一篇名为《决定性的非周期流动》的论文，指出大气动力学数值计算所产生的混沌现象。

最初，洛伦兹用“海鸥效应”形容混沌现象带来的不确定性。在后来的一次演讲中，他把“海鸥效应”换成了更富诗意的“蝴蝶效应”，由此广为人知。

20世纪90年代，洛伦兹还提出了“决定性混沌”理论，认为人类（生命）本身就是非线性的混沌系统，人类的心跳实际上是非规则的、不可预知的，这种不可预知性正是生命力的表现；而生物的应激性就是混沌系统比非混沌系统反应更快的表现。

目前，有三种系统会存在对初始条件非常敏感的情况，即存在着“蝴蝶效应”。

第一种：发散的（divergent）动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。

第二种：具有多个平衡态和周期态的系统。例如范德波尔振荡器。这种振荡器是荷兰物理学家 巴尔塔萨·范德波尔在1927年研究真空管时首次提出的动力系统。对于这种系统来说，当系统初始状态在某一区域时，系统状态先发散，之后的长期行为趋近于周期变化，而系统初始状态在另外一些区域时，系统状态不经发散直接趋于周期变化。如果改变这个动力系统的参数，又会出现，当系统初始状态在某一区域时，系统状态收敛到某一平衡态，而在另一区域时，系统状态又趋于无穷。

第三种：混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。

注意：蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。

蝴蝶效应的数学推导（洛伦兹系统）

首先写出布辛尼斯克（Boussinesq）近似下的流体力学系统控制方程：

其中前三个方程是纳维尔-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的三个分量，第四个方程是热力学方程，第五个方程是质量连续方程。

如果我们二维情况下引入了流函数，方程组将会简化成两个

而通过Saltzman 假设其解则可以在空间上表示成傅里叶形式

最后将傅里叶形式的解带入方程组便可得到洛伦兹系统的对流方程组（洛伦兹构建的系统）：

“蝴蝶效应”适用的对象，是一切处在动态之中的系统，如大气层，生物圈，人类社会……它使得人们意识到，在这些复杂的动态系统之中，任何微小的扰动，其所带来的后果，随着预报时间的增长，都将成为混沌而不可预知的。对扰动的高度敏感，和计算技术的有限，注定这样的预报存在一个上限。比如，天气预报超过10天，其结果就基本失去参考意义。

虽然蝴蝶效应具有不可预知性，不能被我们所用。但是它的影响已经走进了我们生活的方方面面。

太平洋上出现的“厄尔尼诺”现象就是“蝴蝶效应”在天气中的一种体现。厄尔尼诺是热带大气和海洋相互作用的产物，原是指赤道海面的一种异常增温，现在定义为全球范围内海气相互作用造成的气候异常。厄尔尼诺的重要起因是沃克环流的变化。沃克环流是 1969 年由英国人沃克最初发现的,它发源于西太平洋赤道地区.陆地部分主要经过印度尼西亚和马来西亚等国。大气环流是支配大气活动的主要动力之一，其变化也是气候变化的主要原因之一。

在社会学界一个微小的事件，会对社会发展产生复杂影响。对于某些微小事件，如果不及时加以引导、调节，会给社会带来巨大危害：如果能加以正确引导、调节，经过一段时间，可能会对社会发展起到巨大的推动作用。例如，1911 年 3月 25 日纽约市发生的一场工厂火灾。火灾发生在华盛顿广场附近埃斯克大楼里的三角女式衬衣公司，当时第 8 层的车间突然窜出火苗，并在几分钟内迅速成为一片火海，火灾只持续半小时就被扑灭了。然而由于电梯失效，步行楼梯又被锁住（为了防止女工偷窃工厂产品，这是那个年代的普遍做法），146条年轻的生命，竟因此在短短的半小时里消逝了。这次火灾引发了美国社会的一系列变革。

1998 年亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的“蝴蝶效应”。公元 1997 年 3 月至 5月，来自美国华尔街的“大蝴蝶”索罗斯突然“扇动翅膀”，骤然掀起泰国、印尼的金融风暴，随即引发整个东南亚以至 1997 年包括东亚许多国家在内的金融危机。这场危机让人们真正领略了蝴蝶效应在金融界乃至经济领域的巨大影响。最新的一个事例是一只美国“蝴蝶”导致全球手机市场格局骤然改变。2000 年 3 月,美国新墨西哥州阿尔伯克基的一家半导体工厂遭雷击起火，这场只持续 10 分钟的大火，竟彻底改变了欧洲两大电子公司的力量对比。这家工厂为一些手机生产商提供芯片。由于当时爱立信公司反应迟缓，没有其他的芯片供应商,不得不正式宣布退出手机市场。而诺基亚则因富有远见、反应快速，巩固了其在欧洲电信技术领域的主宰地位。