Г函数是含参变量的以无穷乘积函数定义的
反常积分。作为欧拉积分中一个重要的积分，它与
B函数存在一定的联系。并且它在定积分也有重要的应用。
函数形式
含参变量α(α>0)的反常积分：
性质
收敛性
Φ（s）的收敛性：当s≧1时是正常积分，所以其收敛；当0〈s〈1时，由柯西判别法可推得其是收敛的。
Ψ（s）的收敛性：当s〉0时，由柯西判别法推得其是收敛的。
故
含参量积分Γ（x）在s〉0时收敛，其定义域为s〉0。
连续性
在任何闭区间[a,b]（a>0）上，对于函数Φ（s），当0〈x≦1时有 ≦ ，由于 收敛，从而Φ（s）在[a,b]上收敛；对于Ψ（s），当1≦x〈+∞时，有 ≦ ，由于 收敛，从而Ψ（s）在[a,b]上也一致收敛。于是Γ（s）在s〉0上连续。
可导性
考察积分 = 。它在任何区间[a,b](a〉0)上一致收敛。于是由含参量反常积分的可微性得出Γ（s）在[a,b]上可导，由a，b的任意性，Γ（s）在s〉0上可导。
递推公式
证明：
令 就得到Γ函数的递推公式：
推论：
当s趋于0时， Γ（s）趋于+∞
Γ函数的图像
对于一切 ， 和 恒大于0，因此 的图像位于s轴的上方，且是向下凸的。因为 ，所以 在 上仅存在的极小值点 且 。又 在 内严格增，在 内严格减。
由于
所以
由 和 在 上严格增可得：
综上所述， 函数的图像如图1中s>0部分所示 。
Γ函数与Β函数之间的关系
对于任意的实数p，q：
应用
已知 ，试证 。
证明：