n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。

n维球面是普通的球面在任意维度的推广。它是(n+1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的n维球面称为单位n维球面，记为S。用符号来表示，就是：

n维球面是(n+1)维球体的表面或边界，是n维流形的一种。对于n≥2，n维球面是单连通的n维流形，其曲率为正的常数。

对于任何自然数n，半径为r的n维球面定义为(n+1)维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数r的所有点的集合，其中r可以是任何正的实数。它是(n+1)维空间内的n维流形。特别地：

空间中的欧几里得坐标

(n+ 1)维空间中的点：(x1、x1、x2、……、xn+1)定义了一个n维球面(Sn)，由以下方程表示：

其中C是中心点，r是半径。

以上的n维球面在(n+1)维空间中存在，是nn维球面的体积形式ω由下式给出：

其中*是霍奇星算子。因此， 。

n维球体

由n维球面所包围的体积，称为(n+1)维球体。如果把球体的表面包括在内，则(n+1)维球体是封闭的，否则是开放的。

特别地：

就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点 [x,y,z]映射到xy平面上的点 。也就是说：

类似地，半径为1的n维球面 的球极平面投影映射到垂直于 轴的n-1维超平面 ：